¿Cuál sería una definición rigurosa de los vectores de posición y cuál es su papel en la geometría diferencial?

Primero, algunos preliminares sobre la definición rigurosa de un espacio afín. Si no está interesado en esto, puede pasar al final donde dirijo sus preguntas específicas.

dado un conjunto$S$y un grupo$\big(G,\circ\big)$, definimos una acción de grupo izquierda

$$\triangleright: G \times S \rightarrow S$$ $$(g,s) \mapsto g\triangleright s$$

tal que

1. El elemento de identidad$e\in G$mapea cada elemento de$s$a sí mismo, y
2. Para todos$g,h\in G$y$s\in S$, tenemos eso$g\triangleright (h \triangleright s) = (g\circ h)\triangleright s$

El estabilizador de un punto.$s\in S$es el conjunto de elementos de$G$cual Mapa$s$a sí mismo:

$$\Sigma(s) := \big\{g \in G \ \big| \ g\triangleright s = s\big\}$$

• Una acción izquierda se llama libre si$\forall s\in S$:$\Sigma(s)=\{e\}$. En otras palabras, el único elemento de$G$que mapea cualquier$s\in S$en sí mismo es el elemento de identidad de$G$. Tal acción tiene la propiedad de que si$g\triangleright s = h\triangleright s$, entonces estamos inmediatamente garantizados que$g=h$.
• Una acción por la izquierda se llama transitiva si, para todo$s,t\in S$, existe alguna$g\in G$tal que$g \triangleright s = t$. Es decir, siempre se puede llegar a cualquier elemento de$S$de cualquier otro por la acción de algún elemento de$G$.

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Habiendo hecho esas definiciones, podemos definir un espacio afín como un triple$\big(A,V,\triangleright\big)$, dónde$A$es un conjunto,$V$es un espacio vectorial, y$\triangleright$es una acción izquierda transitiva libre de$V$en$A$, donde notamos que cualquier espacio vectorial$V$es, en particular, un grupo abeliano con suma vectorial como operación de grupo. Uno típicamente llama elementos de$A$ puntos y elementos de$V$ vectores de desplazamiento

Ejemplo: Dejar$A=\mathbb R^2$como un conjunto, y deje$V = \mathbb R^2$como un espacio vectorial. Dado cualquier punto$p\equiv (a,b)\in A$y cualquier vector de desplazamiento$\vec v \equiv \langle x,y\rangle\in V$, definir la acción izquierda

$$\vec v \triangleright p = \langle x,y\rangle \triangleright (a,b) := (a+x,b+y)$$

Como era de esperar, cualquier espacio vectorial es un espacio afín sobre sí mismo, en analogía con este ejemplo.

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Dada la elección del punto de origen $O\in A$, Cualquier punto$x\in A$se puede identificar de forma única con un vector de desplazamiento$\vec v$tal que$\vec v \triangleright O = x$. Tenga en cuenta que la existencia de dicho vector de desplazamiento está garantizada porque la acción de la izquierda es transitiva, mientras que su unicidad está garantizada porque la acción de la izquierda es libre.

En un ligero abuso de notación, algunas personas reutilizan el mismo símbolo dos veces y dejan$\vec x$Sea el único vector tal que$\vec x \triangleright O = x$(donde el$x$en el lado derecho vive en$A$). Para propósitos pedagógicos, probablemente sea mejor denotar tal objeto por$\vec v_x$o algo así, pero es lo que es.

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Para un ejemplo un poco menos trivial de un espacio afín, considere el siguiente conjunto:

$$A := \big\{ (a,b,c)\in \mathbb R^3 \ \big| \ z = 5\big\}$$

$A$no es un subespacio vectorial de$\mathbb R^3$porque no incluye el origen. Sin embargo, si lo equipamos con el espacio vectorial$V = \mathbb R^2$y la acción de la izquierda

$$\langle x,y\rangle \triangleright (a,b,c) := (a+x,b+y,c)$$

entonces de hecho se convierte en un espacio afín.

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Ahora, vamos a tus preguntas.

Específicamente, si elijo otros dos puntos p′ y o′ que están a la misma distancia, obtendría el mismo elemento del espacio afín, por lo que me parece que los vectores de posición definidos de esta manera no están realmente "ubicados" en ningún lado. ¿Es esto correcto? ¿Hay alguna forma de "arreglar" esto o una forma matemática más ordenada de verlo?

Si, eso es correcto. No hay nada que arreglar, en el sentido de que esta es una característica de los espacios afines en lugar de un error.

El problema de adjuntar vectores a puntos es que cada punto tiene su propia copia del espacio vectorial, y no existe una forma inmediatamente obvia de comparar o combinar vectores que están adjuntos a diferentes puntos.

Dicho de otra manera, un espacio afín viene equipado con un único espacio vectorial universal, en lugar de un montón de espacios vectoriales individuales que necesitarían conectarse entre sí usando una estructura extra (por ejemplo, una conexión afín ) .

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[...] el hecho de que una variedad pueda tener curvatura realmente me incomoda y no veo cómo la naturaleza "recta" de los vectores de posición puede reconciliarse con esto.

Tienes razón en estar incómodo. De hecho, los espacios que poseen una curvatura intrínseca están descalificados de ser espacios afines porque, por ejemplo, transportar un vector alrededor de un circuito cerrado generalmente da como resultado un vector diferente del que comenzó; esto contrasta con el bastante obvio

$$\vec x + \vec a + \vec b + (-\vec a) + (-\vec b) = \vec x$$ que tendríamos si estuviéramos trabajando en un espacio afín.

Creo, es que solo se puede hablar de vectores de posición en variedades planas, y de alguna manera la posición "deja de ser un vector" si el espacio tiene curvatura[...]

Sí, eso es exacto.

[...] pero, ¿qué pasa entonces con la "derivada de los vectores de posición" como campos de trama?

El espacio plano no es lo mismo que las "coordenadas cartesianas". Obviamente el plano euclidiano$\mathbb E^2$es plano en el sentido de que no tiene una curvatura intrínseca, pero todavía se puede describir usando coordenadas polares, que tienen una base natural que varía con el tiempo.$\mathbb E^2$.

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EDITAR: Me di cuenta de que, si bien traté de abordar las preguntas en el cuerpo de su publicación, en realidad no abordé la pregunta en el título.

Dado un espacio afín$\big(A,V,\triangleright\big)$, un marco afín es una elección de punto de origen$O\in A$y una base$\{\vec v_i\}$de$V$. Dado tal marco, el campo vectorial de posición es una función de valor vectorial

$$\vec R:A \rightarrow V$$ $$a \mapsto \vec R(a)$$

dónde$\vec R(a)$es el único vector tal que$\vec R(a) \triangleright O = a$. Es un campo en el sentido de que es una función definida en cada punto del conjunto subyacente.$A$.

Dada una curva$\gamma : \mathbb R \rightarrow A$(que sugestivamente se podría llamar una trayectoria), podemos definir el vector de posición a lo largo de la curva

$$\vec R_\gamma : \mathbb R \rightarrow V$$ $$t \mapsto \vec R \big(\gamma(t)\big)$$

Este objeto es fundamentalmente de lo que estamos hablando cuando nos referimos al vector de posición dependiente del tiempo de una partícula.