¿Qué son las restricciones holonómicas y no holonómicas?

Si tiene un sistema mecánico con$N$partículas, técnicamente necesitarías$n = 3N$coordenadas para describirlo completamente.

Pero a menudo es posible expresar una coordenada en términos de otras: por ejemplo, si dos puntos están conectados por una varilla rígida, su distancia relativa no varía. Tal condición del sistema se puede expresar como una ecuación que involucra solo las coordenadas espaciales$q_i$del sistema y el tiempo$t$, pero no en momentos$p_i$o derivados superiores respecto al tiempo. Estas se llaman restricciones holonómicas :

Un ejemplo de una restricción holonómica se puede ver en un péndulo matemático. El punto de balanceo del péndulo tiene dos grados de libertad ($x$y$y$). La longitud$l$del péndulo es constante, por lo que podemos escribir la restricción como

Las restricciones no holonómicas son básicamente todos los demás casos: cuando las restricciones no se pueden escribir como una ecuación entre coordenadas (pero a menudo como una desigualdad).

Un ejemplo de un sistema con restricciones no holonómicas es una partícula atrapada en una capa esférica. En tres dimensiones espaciales, la partícula tiene entonces 3 grados de libertad. La restricción dice que la distancia de la partícula desde el centro de la esfera es siempre menor que$R$:

La pregunta ha sido bien respondida varias veces. Solo agregaré un poco de contexto geométrico.

En geometría, el grupo de holonomía de una conexión es el conjunto de transformaciones que un objeto puede experimentar cuando es transportado en paralelo en un bucle. Muchas restricciones se pueden expresar en términos de obligar a que algo sea transportado en paralelo. Si los grupos de holonomía asociados no son triviales, entonces la restricción no puede ser holonómica, porque la orientación del objeto dependerá del bucle atravesado, no solo del estado actual. Entonces, de manera bastante confusa, obtienes restricciones holonómicas de grupos de holonomía triviales.

Aquí hay unos ejemplos:

• Supongamos que una moneda rueda sin deslizarse en 2D. Esta es una restricción holonómica, porque si haces rodar la moneda hacia adelante y hacia atrás hasta donde empezaste, terminará con la misma orientación. Formalmente, esto se describe mediante el transporte paralelo en un$U(1)$agruparse$\mathbb{R}$, donde el$U(1)$describe la orientación de la moneda.
• Supongamos que una pelota rueda sin deslizarse en 3D. Esta no es una restricción holonómica, porque si mueves la pelota, puedes hacer que regrese a donde comenzó, volteada. (¡Pruébelo!) Formalmente, esto se describe mediante holonomía no trivial en un$SO(3)$agruparse$\mathbb{R}^2$, donde el$SO(3)$describe la orientación de la pelota.
• Supongamos que un gato flota en el espacio, con un momento angular total cero. Esta no es una restricción holonómica, porque es posible que el gato se mueva un poco y luego vuelva a su forma original pero se dé la vuelta . Formalmente, esto se describe mediante holonomía no trivial en un$SO(3)$agruparse$S$, donde$S$es el espacio de formas del gato.

Una restricción holonómica es una restricción que establece una relación definida entre las coordenadas que está utilizando. Por ejemplo, considere un cilindro de radio$R$rodando por una mesa en 1-D. El sistema puede ser descrito por una coordenada.$x$, que denota la posición del cilindro, y una coordenada$\theta$, que describe el ángulo de rotación del cilindro. Sin embargo, si el cilindro rueda sin deslizarse, entonces para cada distancia infinitesimal$dx$el cilindro se mueve, debe moverse una distancia$d\theta$dada por

Una restricción no holonómica es un sistema para el que no se puede realizar esta integración. El ejemplo clásico de esto es una esfera que rueda sin deslizarse sobre una mesa en 2D. En este caso, el estado del sistema se describe por la posición de la esfera a lo largo de la mesa (necesita dos coordenadas,$x$y$y$) y la orientación angular de la esfera en 3D (necesitando tres coordenadas, como los ángulos de Euler$\theta$,$\phi$,$\psi$.)

Ahora, supongamos que desplazo la esfera a lo largo de la mesa en un desplazamiento infinitesimal$dx$y$dy$. los valores de$dx$y$dy$, combinado con los valores de$\theta$,$\phi$,$\psi$antes del desplazamiento, determinará los cambios infinitesimales$d\theta$,$d\phi$,$d\psi$. En otras palabras, debe haber algún tipo de relación de la forma

Uno podría esperar que pudiéramos integrar estas relaciones entre los diferenciales para obtener restricciones entre las propias coordenadas, expresadas como un conjunto de funciones$f_j(q_i) = 0$. Pero aquí está el truco: no podemos. Si existiera tal conjunto de funciones, entonces sería el caso de que la posición de la pelota$x,y$sobre la mesa determinaría por completo su orientación angular, tal como lo hizo con el cilindro. Sin embargo, puede probar esto usted mismo: tome una pelota y marque un punto de inicio en la mesa y un punto en la pelota. Coloque la pelota en el punto de partida de modo que el punto marcado en la pelota quede arriba y ruede la pelota alrededor de la mesa sin resbalar. Descubrirá rápidamente que la posición de la bola en la mesa no determina su orientación: cuando lleva la bola al punto de partida, el punto marcado generalmente no estará en la parte superior. De hecho, puedes traer prácticamente cualquier punto para estar encima de la pelota cuando la pelota regrese a su punto de partida.

Esto significa que no existen funciones.$f_i(q_j)$de las coordenadas que se pueden obtener "integrando" las restricciones diferenciales anteriores. En lugar de una restricción entre las propias coordenadas, estamos "atascados" con una restricción entre los cambios infinitesimales de las coordenadas.

Para completar: también existe una noción de restricciones semi-holonómicas.

1. Recuerde que una restricción holonómica$^1$

   $$f(q,t)~=~0\tag{H}$$ solo depende de las coordenadas generalizadas$^2$ $q^j$y tiempo$t$, pero no las velocidades generalizadas$\dot{q}^j$.

2. Como era de esperar, una restricción no holonómica es una restricción que no es holonómica.

3. Una restricción semi-holonómica/ Pfaffiana

   $$a(q,\dot{q},t)~\equiv~ \sum_{j=1}^na_j(q,t)~\dot{q}^j+a_0(q,t)~=~0\tag{S1}$$ es una restricción no holonómica que depende afínmente de las velocidades generalizadas$\dot{q}^j$. ecuación (S1) se puede escribir de manera equivalente a través de una forma $$\omega~\equiv~\sum_{j=1}^na_j(q,t)~\mathrm{d}q^j+a_0(q,t)\mathrm{d}t~=~0.\tag{S2}$$

4. La restricción (S2) es equivalente a la restricción holonómica (H) si y solo si existe un factor integrante$\lambda(q,t)\neq 0$y una forma$\eta$tal que$^3$

   $$\lambda\omega+ f\eta~\equiv~\mathrm{d}f . \tag{I}$$

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$^1$Hay varias condiciones de regularidad técnica implícitamente asumidas, cf. por ejemplo , esta publicación de Phys.SE.

$^2$En esta respuesta, también llamamos a las variables de posición de las partículas puntuales originales${\bf r}_1, \ldots, {\bf r}_N$para que las coordenadas generalizadas sean lo más generales posible.

$^3$ El teorema de Frobenius proporciona condiciones necesarias y suficientes

Suponga que ha escrito el lagrangiano de un sistema en términos de$q_i,\,\dot{q}_i$, o su hamiltoniano en términos de$q_i,\,p_i$. Hay algunas sutilezas en el análisis si una función$f$existe por lo cual$f(q_i,\,\dot{q}_j,\,t)=0$, o$f(q_i,\,p_j,\,t)$. De cualquier manera, ha restringido ese sistema. A esto lo llamamos holonómico si$f$es una función de la$q_i,\,t$solo.

Veamos algunos ejemplos. Una montaña rusa sigue la forma de su pista, por lo que la restricción es holonómica. Por otro lado, el electromagnetismo tiene$p_{A_0}=0$, que es una restricción no holonómica. (De hecho, este ni siquiera depende del$q_i$.)

Supongamos que una partícula se mueve sobre la superficie de la esfera, puedes escribir la ecuación de la distancia entre el centro de la esfera y la partícula (radio de la esfera) como$x^2+y^2+z^2 = R^2$, aquí$x,y,z$son las coordenadas cartesianas y$R$es el radio de la esfera. Este es un ejemplo de restricción holonómica. Ahora suponga que la partícula no está obligada a moverse en la superficie de la esfera, en esto no puede escribir la ecuación como se indica arriba. Es una restricción no holomómica. Ver el libro "Introducción a la mecánica clásica" de Puranik y Takwale.