¿Todas las restricciones que involucran solo dos coordenadas son integrables?

(Suponiendo las condiciones habituales de continuidad y no singularidad) Una restricción diferencial de primer orden de dos variables$x$y$y$Se puede escribir como

$$\begin{matrix}\omega = M(x,y)dx + N(x,y)dy=0& [1] \end{matrix}$$ Reorganizar [1] para $$\begin{matrix}\frac{dy}{dx} = -\frac{M(x,y)}{N(x,y)} & [2] \end{matrix}$$ que conduce a la forma de una ecuación diferencial ordinaria estándar de primer orden en una variable dependiente $y$y una variable independiente $x$, y que tiene una solución con una condición inicial dada $x_0,y_0$en la forma implícita de $F(x,y)=k$para algunos $k$eso depende de la condición inicial. Esta ecuación implícita es una solución a [1] y luego es equivalente a $dF=0$o en coordenadas $$\begin{matrix}\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy=0 & [3]\end{matrix}$$ Pero [1] y [3] pueden existir simultáneamente iff $\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{M(x,y)}=\frac{\frac{\partial F}{\partial y}}{N(x,y)}=\lambda(x,y)$para algunos $\lambda$ese es solo el multiplicador integrador buscado, es decir $$\begin {matrix}dF=\lambda\omega & [4]\end {matrix}$$

Comentarios a la publicación (v2):

1. Tenga en cuenta que Goldstein más adelante en la ec. (2.20') discute más sistemáticamente las restricciones semi-holonómicas que pueden depender del tiempo$t$. Sin embargo, en la página 15, Goldstein asume implícitamente que no hay$t$-dependencia, es decir, solo hay 2 coordenadas generalizadas, digamos$x$y$y$, sin tiempo$t$. La restricción semi-holonómica luego mata 1 dof

2. Goldstein es un libro de texto de física (más que de matemáticas). ¡Se espera que el lector descubra las deficiencias matemáticas por sí mismo! Por ejemplo, hay condiciones de regularidad implícitas (como, por ejemplo, diferenciabilidad). Consulte también esta y estas publicaciones relacionadas con Phys.SE.

3. En particular, puede haber obstrucciones globales. Lo que Goldstein está tratando de transmitir es el hecho de que un diferencial inexacto

   $$\omega~=~f(x,y)\mathrm{d}x+g(x,y)\mathrm{d}y\tag{A}$$ en una variedad bidimensional$M$(por un punto$p\in M$con$\omega_p\neq 0$que no se desvanece) tiene un factor de integración $\lambda$(en un barrio abierto lo suficientemente pequeño$U\ni p$) que hace la forma única$\left. \lambda\omega\right|_U$ exacto _ La condición $$\left(f\frac{\partial }{\partial y}- g\frac{\partial }{\partial x}\right)\ln\lambda~=~ \frac{\partial g}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y}\tag{B}$$ para$\ln\lambda$es una PDE lineal de primer orden en 2 variables, que se puede mostrar que tiene soluciones locales. Un diferencial exacto corresponde a una restricción holonómica .