Pregunta sobre hacer la integral para la regla de oro de Fermi

Hoy en la conferencia, mi profesor hizo algo que me confundió.

Como ejemplo, consideramos el efecto fotoeléctrico, en el que un electrón unido en un potencial de Coulomb se ioniza después de interactuar con un campo electromagnético externo. [...] La tasa de absorción viene dada por

$$\Gamma_{i\rightarrow f}=\frac{4a_{0}^{3}e^{2}}{m^{2}\pi\hbar^{4}c^{2}}\frac{(\mathbf{A}_{0}\cdot\mathbf{p}_{f})^{2}}{(1+(p_{f}a_{0}/\hbar^{2})^{4}}\delta(p_{f}^{2}/2m-E_{i}-\hbar\omega)$$

Esto nos da la tasa para un impulso final preciso.$p_{f}$. Por lo general, lo que queremos saber es la tasa de electrones detectados en un ángulo sólido$\mathrm{d}\Omega$

$$\frac{\mathrm{d}\Gamma}{\mathrm{d}\Omega}=\int_{0}^{\infty}p_{f}^{2}\,\mathrm{d}p_{f}\,\Gamma_{i\rightarrow p_{f}}$$

haciendo el$p_{f}$integral, tenemos

$$\frac{\mathrm{d}\Gamma}{\mathrm{d}\Omega}=\frac{4a_{0}^{3}e^{2}p_{f}}{m\pi\hbar^{4}c^{2}}\frac{(\mathbf{A}_{0}\cdot\mathbf{p}_{f})^{2}}{(1+(p_{f}a_{0}/\hbar^{2})^{4}}$$

dónde$p_{f}=\sqrt{2m(E_{i}+\hbar\omega)}$.

pero no entiendo cómo la integral simplemente multiplica un término$m \, p_f$a la primera expresión. Pensé que el$\delta$reemplazo de función$p_f$con$\sqrt{2m(E_{i}+\hbar\omega)}$.