Operador de traducción y base de posición

Esta es la forma más lógica de proceder si me preguntas. Dado cualquier$a\in\mathbb R$, definimos el operador de traducción$T_a$por su acción sobre los vectores de posición

$$T_a|x\rangle = |x + a\rangle$$ Se pueden probar las siguientes propiedades:

1. $T_a$es unitario para cada$a\in\mathbb R$.

2. $T_aT_b = T_{a+b}$para todos$a,b\in\mathbb R$.

De ello se deduce (por el teorema de Stone hasta algunos detalles matemáticos), que existe un operador hermitiano$K$para cual

$$T_a = e^{-iaK}$$ El operador $K$cuya existencia está garantizada de esta manera se llama generador infinitesimal de traslaciones. A continuación, queremos mostrar que $K$y $X$tienen ciertas relaciones de conmutación. Para ello, anotamos el siguiente hecho (ver aquí ) $$T_aXT_{-a} = e^{-iaK}Xe^{+iaK} = X - ia[K, X] + \mathcal O(a^2)$$ Ahora actuando con ambos lados en un vector propio de posición $|x\rangle$da $$(x-a)|x\rangle = (x-ia[K,X])|x\rangle + \mathcal O(a^2)$$ e igualando términos del mismo orden en $a$da $$[X,K] = iI$$ como se desee.

La derivación de Sakurai no es matemáticamente rigurosa, por lo que debe esperar algo como su argumento sobre el producto escalar. Efectivamente, lo tenemos todo más o menos fino hasta

$$[x,\mathcal{T}(\epsilon)]|z\rangle=\epsilon|z+\epsilon\rangle$$ donde queremos reemplazar $|z+\epsilon\rangle$por $|z\rangle$y afirmar que está bien en el primer orden en $\epsilon$. Tan pronto como los estados propios de posición no son normalizables, no hay medida de "pequeñez" para usar en nuestro razonamiento sobre órdenes. Sin embargo, lo que tiene sentido es deducir $[x,\mathcal{T}(\epsilon)]=\epsilon\mathcal{T}(\epsilon)$, lo cual es cierto para cualquier finito $\epsilon$. Aquí la razón por la que todo funciona bien es que $\mathcal{T}$es un buen operador acotado (= continuo) que se define en todo el espacio de estados de Hilbert, y se entiende fácilmente incluso en los vectores generalizados como $|x\rangle$. De hecho, si trabaja en representación de coordenadas, puede deducir que este conmutador trabaja solo con funciones de onda normalizables, en las que la acción de $x$se define (permanecen normalizables después de esta acción), dando un sentido matemático completamente riguroso a su cálculo.

¿Qué es diferente cuando tratas de lidiar con Sakurai?$K$(lo que intenta hacer cada vez que habla de traducciones infinitesimales) rigurosamente, es que es un operador malo (ilimitado, discontinuo). De hecho, en cierto sentido,

$$K=i\left.\frac{d}{d\epsilon}\mathcal{T}(\epsilon)\right|_{\epsilon=0}.$$ Pero la única manera de dar sentido a esta fórmula es definir la acción de $K$en estados: $$K|\psi\rangle=i\lim_{\epsilon\to0}\frac{\mathcal{T}(\epsilon)|\psi\rangle-|\psi\rangle}{\epsilon}$$ Pero este límite existe sólo para ciertos estados buenos, que decimos que están en el dominio de $K$. De hecho, si miras $K$en el representante de coordenadas, es solo $-i\frac{d}{dx}$, que se define en el subespacio (en todas partes denso) de funciones diferenciables del espacio $L_2$de funciones integrables al cuadrado. cuando tratas con $K$rigurosamente, tienes que restringirte al dominio de $K$(por ejemplo, si considera la respuesta de joshphysics, donde cada fórmula con $K$se restringe al dominio, es casi una prueba rigurosa).

Sin embargo, por alguna razón, seguramente relacionada con el hecho de que el dominio$D(K)$de$K$es denso en todas partes -- cualquier estado puede ser aproximado por un estado de$D(K)$con cualquier precisión deseada, un tratamiento descuidado como el de Sakurai funciona.