Notación desconocida en Sakurai

Esta es una notación de la teoría de la distribución en el análisis funcional. La teoría de las distribuciones pretende hacer cosas como la delta de Dirac rigurosas.

En este contexto, solo para darle una visión general, una distribución es un funcional en el espacio de las funciones de prueba. Definimos el espacio de funciones de prueba sobre$\mathbb{R}$como$\mathcal{D}(\mathbb{R})$siendo el espacio de funciones suaves con soporte compacto (es decir, el conjunto donde no son cero es acotado y cerrado).

En ese caso, el espacio de distribuciones es el espacio de funcionales lineales continuos sobre$\mathcal{D}(\mathbb{R})$y se denota como$\mathcal{D}'(\mathbb{R})$. Si$\eta\in \mathcal{D}'(\mathbb{R})$y$\phi\in \mathcal{D}(\mathbb{R})$normalmente denotamos$\eta(\phi)$por$(\eta,\phi)$. Dado que las distribuciones son solo funcionales lineales, decimos que dos distribuciones$\eta,\zeta$son iguales si$(\eta,\phi)=(\zeta,\phi)$para todos$\phi\in \mathcal{D}(\mathbb{R})$.

El delta de Dirac, por ejemplo, se define como$\delta\in \mathcal{D}'(\mathbb{R})$cuya acción sobre$\phi\in \mathcal{D}(\mathbb{R})$es$(\delta,\phi)=\phi(0)$. Ahora, dado$\phi\in\mathcal{D}(\mathbb{R})$uno siempre puede construir una distribución asociada con él:

$$(\phi,\psi)=\int_{-\infty}^{\infty}\phi(x)\psi(x)dx, \qquad \forall \ \psi\in \mathcal{D}(\mathbb{R}).$$

Sin embargo, hay otras formas de convertir una función habitual en una distribución, incluso si la función no es una función de prueba. Uno de ellos es el valor principal. Considerar$f(x) = \frac{1}{x}$. Obviamente, esto no tiene soporte compacto, por lo que$f\notin \mathcal{D}(\mathbb{R})$. Podemos hacer$f$en una distribución, sin embargo, al considerar el valor principal:

$$\left(\operatorname{Pv}\frac{1}{x},\phi\right)=\lim_{\epsilon\to 0^+}\left(\int_{-\infty}^{-\epsilon}\dfrac{\phi(x)}{x}dx+\int_\epsilon^\infty \dfrac{\phi(x)}{x}dx\right).$$

Esto es lo que el libro quiere decir con$\operatorname{Pr}$.

Ahora, la fórmula que declaras es la fórmula de Sokhotski-Plemelj . Debe leerse en el sentido distributivo. Diciendo que:

$$\lim_{\epsilon\to 0}\frac{1}{x+i\epsilon}=\operatorname{Pr}\frac1x -i\pi\delta(x).$$

Realmente significa que para todos$\phi\in \mathcal{D}(\mathbb{R})$tenemos

$$\lim_{\epsilon\to 0}\left(\frac{1}{x+i\epsilon},\phi\right)=\left(\operatorname{Pr}\frac1x,\phi\right) -i\pi\left(\delta(x),\phi\right),$$

dónde

$$\left(\frac{1}{x+i\epsilon},\phi\right)=\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\phi(x)}{x+i\epsilon}dx.$$

Esta no es una notación física peculiar por extraño que parezca. La notación permite interpretar$1/x$como una distribución (lo que tiene sentido ya que se suma a la distribución delta en el lado derecho de la ecuación). Para una función de prueba adecuada$\varphi$, se define esta distribución como

$$\mathrm{pv}(1/x)(\varphi) = \lim_{\epsilon\to 0+}\int_{\mathbb R\setminus [-\epsilon, \epsilon]} \frac{\varphi(x)}{x}\, dx$$ Como señaló el usuario anon0909, esta distribución se denomina valor principal de $1/x$. Dada esta definición, la ecuación que aparece en Sakurai debe interpretarse como $$\lim_{\epsilon\to 0^+} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\varphi(x)}{x + i\epsilon} = \lim_{\epsilon\to 0+}\int_{\mathbb R\setminus [-\epsilon, \epsilon]} \frac{\varphi(x)}{x}\, dx - i\pi\varphi(0)$$