¿Por qué necesitamos una gran suposición de tiempo para la conservación de energía en las transiciones de electrones?

La conservación de la energía siempre se mantiene.

La cuestión es que, si está tratando de promover alguna transición en un sistema cuántico y está utilizando una perturbación oscilatoria dependiente del tiempo (como, por ejemplo, un pulso de luz láser), y su perturbación está confinada dentro de una ventana finita duración, entonces su perturbación no tiene una energía bien definida. Como tal, las transiciones que puede promover no se limitan a un solo pico de energía de función delta.

Su explicación propuesta parece ser esencialmente correcta, aunque es bastante confusa y no está del todo claro lo que quiere decir. Parte de esto se debe a la redacción que ha elegido, y otra parte es que no está claro qué tipo de sistema (y qué tipo de transición) está imaginando. Aquí, dado que su expresión para la amplitud de transición incluye una densidad de estados$\rho(\omega)$, asumiré que está interesado en una transición entre

1. un solo estado fundamental discreto en la energía$E=0$, y
2. un continuo de estados,

como la que se encuentra en la fotoionización. Además, supongamos que la transición está siendo inducida por alguna perturbación dependiente del tiempo$\Delta H(t)$que es cero antes$t=0$, oscila alrededor de alguna frecuencia central$\omega_0$, y se detiene después de un tiempo determinado$T$.

En este caso, si entiendo tu pregunta correctamente, estás preguntando algo como

es posible expresar$\Delta H(t) = \int_{-\infty}^\infty \tilde H(\nu) e^{-i\nu t} \mathrm d\nu$como una superposición de ondas planas, cada una de las cuales ha sido 'activada' desde antes$t=0$?

y de ser así,

¿Es posible expresar la probabilidad de transición?$c_\omega(t)$a los estados en frecuencia$\omega$como la superposición de las amplitudes de transición inducidas por cada una de esas ondas planas?

Si esas son sus preguntas, entonces la respuesta es sí y sí. Esa es una forma perfectamente válida de entender la dinámica.

Dicho esto, es importante tener en cuenta que las transiciones inducidas por cada una de esas ondas planas no conducen a una función delta en$\omega$, porque está viendo una perturbación truncada (es decir, se ha activado desde$-\infty$, pero no ha pasado a$+\infty$todavía).

En cualquier caso, cuando el pulso acaba de empezar, en los primeros instantes tras$t=0$, todos los diferentes componentes de frecuencia pueden, y comenzarán, promover a la población a estados continuos a energías que no son $\omega_0$. Esto sucede en un ancho de banda bastante amplio y representa la población real presente en esas partes del continuo en esos primeros momentos dentro del pulso.

Sin embargo, a medida que pasa el tiempo y te adentras más y más en la interacción, comenzarás a ver interferencias entre la población que se promovió al principio del pulso y la población que se agrega en momentos posteriores. Parte de esta interferencia es constructiva: en la resonancia, es decir, en$\hbar \omega_0$, y una pequeña banda a su alrededor de ancho de banda$\hbar \,\Delta \omega$. Sin embargo, para frecuencias más alejadas de$\hbar \omega_0$, la interferencia será destructiva y esa población inicial desaparecerá, ya que su amplitud de población se cancela mediante la adición de amplitudes de población adicionales con fase opuesta. Y, por supuesto, se cumple el principio general de incertidumbre de Heisenberg: si dejas que la interacción continúe por un tiempo$\Delta t$, el ancho de banda de la interferencia constructiva$\hbar \:\Delta \omega$se encogerá de acuerdo a$\Delta t \, \hbar \Delta \omega \gtrsim 1/2$. Finalmente, a medida que la interacción continúa hasta el infinito, la distribución de la población en el continuo se acerca al pico delta que necesita.

Así que esa es la teoría general. Pero también me gustaría señalar que esto no es solo una manipulación abstracta de símbolos, y que todo esto se puede rastrear y medir en tiempo real.

La forma más sencilla de hacerlo es agregando una segunda interacción que, de una forma u otra, interrumpa la transición y luego rastreando el espectro del sistema en función del retraso entre las dos interacciones. Aquí hay dos documentos sólidos que hacen esto:

Observando la acumulación ultrarrápida de una resonancia de Fano en el dominio del tiempo. Kaldun et al. Ciencias 354 , 738 (2016)

y

Dinámica de attosegundos a través de una resonancia de Fano: seguimiento del nacimiento de un fotoelectrón. V Gruson et al. Ciencias 354 , 734 (2016)

y aquí hay un breve vistazo a los resultados de Kaldun et al.:

Como puede ver, para retrasos cortos, la respuesta tiene un ancho de banda muy alto, y esto se estrecha y se resuelve en características más nítidas a medida que aumenta el retraso. La física es un poco más complicada e interesante que el continuo simple que asumí anteriormente (la frecuencia central$\omega_0$se elige para apuntar a una resonancia de Fano causada por un estado de autoionización en el sistema), pero los principios generales son los mismos.

Y, solo porque las imágenes bonitas siempre son geniales, aquí hay una vista más amplia de la acumulación dependiente del tiempo de la resonancia de Fano de Kaldun et al. (izquierda) y de Gruson et al. (bien):

El significado de esta ecuación no es que el sistema de repente tenga diferentes energías propias y que la función sinc no viole la conservación de la energía. En mi opinión, es mejor pensar en ello como una declaración sobre el campo de tiempo limitado entrante en lugar del sistema bajo investigación.

Cualquier radiación electromagnética finita real es básicamente un pulso debido a su finitud temporal. Por lo tanto, la radiación electromagnética real no tiene una sola frecuencia, sino que se distribuye alrededor de su frecuencia central y la función de forma de línea que describe esa distribución es la función sinc en este caso, que no es más que la transformada de Fourier de la función de rectángulo temporal que limita el tiempo. campo al intervalo [-T,T].

Si T es grande, obtiene un campo con un ancho de banda estrecho, si T es pequeño, obtiene un campo con un ancho de banda grande. Y creo que tiene sentido que el campo con un ancho de banda estrecho tenga que ser más preciso al alcanzar la frecuencia central en comparación con el campo con un ancho de banda grande.

Y en el caso idealizado de un campo electromagnético temporal infinito, obtienes un campo con una sola frecuencia que tendría que golpear la energía de transición exactamente para causar transiciones.