¿Lagrangiano de contratérmino y renormalización?

Estoy revisando las notas sobre QFT de M. Srednicki (en línea aquí ), y me cuesta entender el lagrangiano renormalizado.

Considere un campo escalar de Klein-Gordon, con un término de interacción, por ejemplo$V(\phi)\propto \phi^3$. Al probar la fórmula de reducción LSZ, Srednicki argumenta que para que tenga sentido, el campo debe obedecer a las siguientes relaciones:

1. Dejar$|\Omega\rangle$ser el estado fundamental exacto. Asumiendo que$a(p)|\Omega\rangle=0$, Debemos tener$\langle \Omega |\phi(x)|\Omega\rangle=0$. Para ello, redefinimos$\phi\to \phi+\text{const.}$(cambiar el campo).

2. Dejar$|p\rangle=a^\dagger(p)|\Omega\rangle$ser un estado de una partícula. Para asegurar una correcta normalización de tal estado, debemos tener$\langle p|\phi(x)|\Omega\rangle=\exp(-ikx)$. Al igual que antes, redefinimos$\phi\to \text{const.}\ \phi(x)$(cambiar la escala del campo).

Después de redefinir el campo, terminamos con algo como$\phi(x)\to A\phi(x)+B$. Srednicki afirma que el Lagrangiano se convierte en algo así como$L=Z_1 (\partial \phi)^2+Z_2 m^2 \phi^2+Z_3 g \phi^3+Z_4 \phi$.

Primera pregunta : teníamos dos restricciones, entonces, ¿cómo terminamos con cuatro constantes de renormalización ?$Z_i,\ i=1,2,3,4$. Es decir, deberíamos tener$Z_i=Z_i(A,B)$, dónde$A,B$son las constantes de "cambio" y "reescalado" antes mencionadas$\phi(x)\to A\phi(x)+B$. Como hay dos constantes, debe haber dos relaciones (lineales) entre las cuatro$Z_i$. ¿Es esto correcto? ¿Es esto importante en absoluto? ¿Por qué nunca se habla de esto?

Segunda pregunta : a continuación estudiamos la dinámica a través de, digamos, una integral de Trayectoria. Como de costumbre, definimos

$$Z[J]=\int D\phi\ \exp\left[i\int \mathrm d x\ L_0+L_1+J\phi\right]$$

dónde$L_0$es el lagrangiano libre y$L_1$es "todo lo demás":

$$\begin{aligned} L_0&=(\partial \phi)^2+m^2\phi^2\\ L_1&=Z_3 g\phi^3+(Z_1-1)(\partial \phi)^2+(Z_2-1)m^2\phi^2+Z_4 \phi \end{aligned}$$

Obtenemos lo habitual$Z_0[J]$en términos del propagador, y tratar todo lo demás como perturbaciones:

$$Z[J]\propto \exp\left[i\int \mathrm dx\ L_1\left(\frac{\delta}{\delta J(x)}\right)\right] Z_0[J]$$

Entiendo la necesidad de tratar los términos cúbicos y lineales como perturbaciones, pero ¿por qué no tratamos los términos$(Z_1-1)(\partial \phi^2)$y ($Z_2-1)m^2\phi^2$términos exactamente? Estos términos son cuadráticos en los campos, por lo que pueden incluirse en el propagador, simplemente siguiendo los pasos habituales teniendo en cuenta estas constantes de multiplicación.

Sé que generalmente usamos los contratérminos para "absorber" infinitos, pero esto se siente un poco como hacer trampa: podemos resolver un problema exactamente, pero no lo hacemos porque sabemos que pronto necesitaremos algunos grados de libertad para evitar problemas. .. Probablemente hay algo que no estoy haciendo bien, y realmente agradecería si alguno de ustedes puede guiar mis pensamientos en la dirección correcta.

Finalmente , hay un tecnicismo que me está molestando un poco. El campo es un operador, por lo que al tratar con la exponencial en la integral de trayectoria, debemos tener cuidado, ya que en general$\exp(A+B)\neq\exp(A)\exp(B)$, deberíamos usar Baker-Campbell-Hausdorff en su lugar. Esto significa que, en la integral de trayectoria, no debemos escribir

$$\exp\left[i \int\mathrm dx\ L\right]=\exp\left[i\int \mathrm d\ x L_1\left(\frac{\delta}{\delta J(x)}\right)\right] Z_0[J]$$

porque$\exp[S_0+S_1]\neq\exp[S_0]\exp[S_1]$. De todos modos, como ambos$\phi$y su impulso conmuta con su conmutador, BCH debería ser bastante fácil de implementar, ya que solo necesitaríamos la primera corrección$\exp(A+B)=\exp(A)\exp(B)\exp(-\frac{1}{2}[A,B])\exp(...)$

Me gustaría disculparme si mi notación es descuidada (obviamente, me complacería hacerlo más preciso si me lo piden). Además, es posible que falten algunas constantes (como el$\frac{1}{2}$factores en el Lagrangiano), pero esto no es realmente importante aquí.