Ecuación de movimiento de campos cuánticos de Euler-Lagrangian en QFT

Una forma canónica de hacer teoría cuántica de campos es comenzando con algún Lagrangiano, por ejemplo, el de campo escalar libre.

L = 1 2 ∂ m ϕ ∂ m ϕ − 1 2 metro ϕ 2
Luego, empleando la ecuación de Euler-Lagrangiana, es decir d L = 0 , lo que produciría la ecuación de Klein-Gordon para el campo
( ◻ + metro 2 ) ϕ = 0
Luego procedemos a varios procedimientos de cuantificación que nos llevan a expresar ϕ en términos de operador de creación/aniquilación.

Sin embargo, cuando leo el texto de QFT, a menudo se dice que la ecuación de Euler-Lagrangiana no se cumple exactamente en QFT, y que hay varias fluctuaciones cuánticas que son características de QFT.

No entiendo esta afirmación, ¿no empezamos a hacer QFT empleando la ecuación de Euler-Lagrangiana y, en este caso, solo la ecuación de KG? ¿No hicimos la cuantificación sobre la base de esta ecuación? ¿Por qué se dice que la cuantización haría que la ecuación EL original fuera violada por la fluctuación cuántica? ¿Alguien puede dar un ejemplo explícito de fluctuación cuántica que viole la ecuación EL?

En el formalismo de la integral de trayectoria, las ecuaciones EL solo se cumplen en la aproximación del punto de silla (que es una "buena" aproximación a primera vista). Todos los demás caminos que contribuyen a las amplitudes de transición se consideran desviaciones de las ecuaciones EL.
Estoy copiando mi comentario a la respuesta a continuación: Hola, entiendo que en el enfoque integral de la ruta, EL probablemente no sea necesario. Pero si tiene el libro QFT de Srednicki, puede consultar la sección 3, donde la ecuación EL (3.7) conduce a la solución de campo (3.14). Luego empleó la cuantización en (3.28). Creo que en el libro QFT de Schwartz, sigue esencialmente el mismo camino. Este es el punto donde no entiendo
@JeanbaptisteRoux Esto no es completamente correcto. Las ecuaciones de movimiento se mantienen en todos los correladores hasta los términos de contacto.

Respuestas (3)

No, no comenzamos asumiendo ecuaciones EL para los campos cuánticos. Empezamos asumiendo la acción de los campos cuánticos. El trabajo que realizan las ecuaciones EL en la teoría clásica de campos, es decir, predecir la evolución temporal de la configuración del campo, se realiza evaluando el propagador ⟨ ϕ ( X ) ϕ ( y ) ⟩ realizando la integral de ruta en la formulación de acción de QFT. Solo cuando toma el límite de acción grande (es decir, S ≫ 1 ) la integral de trayectoria le dice que la única contribución sobreviviente a las amplitudes de propagación de los campos provendrá de aquellas trayectorias clásicas que obedecen a las ecuaciones EL. Las ecuaciones de Schwinger-Dyson le brindan el análogo QFT de las ecuaciones EL clásicas. Puede ver explícitamente las correcciones a las ecuaciones EL, por ejemplo, cuando realiza la expansión perturbativa de las ecuaciones SD para un QFT débilmente acoplado.

Hola, entiendo que en el enfoque integral de ruta, EL probablemente no sea necesario. Pero si tiene el libro QFT de Srednicki, puede consultar la sección 3, donde la ecuación EL (3.7) conduce a la solución de campo (3.14). Luego empleó la cuantización en (3.28). Creo que en el libro QFT de Schwartz, sigue esencialmente el mismo camino. Este es el punto donde no entiendo.
@TanTixuan No tengo a Schwartz conmigo en este momento, pero eché un vistazo a la Sección 3 de Srednicki. En una teoría de campo libre, la función de Green clásica y la función de Green cuántica siguen siendo las mismas, simplemente porque no hay bucles en una teoría de campo libre. Srednicki está tratando con una teoría de campo libre en la Sección 3 . En particular, simplemente usa las ecuaciones EL clásicas para motivar la maquinaria que se necesita para resolver el problema de valor propio del hamiltoniano KG. Sin embargo, en general, simplemente comienzas con 3.28 y la versión cuántica de 3.25 como la definición de su QFT.
Hola, la ecuación de campo libre de Schwinger Dyson, según tengo entendido, dice algo así como (copiado de Schwartz) ( ◻ X 1 + metro 2 ) < ϕ ( X 1 ) ϕ ( X 2 ) ϕ ( X 4 ) ϕ ( X 3 ) >= − i d ( X 1 − X 2 ) < ϕ ( X 3 ) ϕ ( X 4 ) > . . . . Si EOM se cumple exactamente, entonces supongo que no debería haber términos en el RHS, es decir, los términos delta.

  1. Es cierto que los operadores en el formalismo de operadores (por ejemplo, en la imagen de Heisenberg) satisfacen exactamente las EOM de Heisenberg (que en la teoría de Klein-Gordon es la ecuación de Klein-Gordon).

  2. Sin embargo, al pasar del formalismo del operador al formalismo de la integral de trayectoria (mediante la inserción de infinitas relaciones de completitud 1 ), la integral de trayectoria se convierte en una integral de dimensión infinita sobre (tanto en el shell como) fuera del shell/configuraciones de campo virtual, donde los EOM no se cumplen necesariamente.

    En particular, los EOM dentro de las funciones de correlación en el formalismo de la integral de trayectoria solo se satisfacen en un cierto sentido de promedio cuántico, cf. las ecuaciones de Schwinger-Dyson (SD)

    ⟨ Ω | T C o v { F [ ϕ ] d S [ ϕ ; j ] d ϕ ( X ) } | Ω ⟩ j   =   i ℏ ⟨ Ω | T C o v { d F [ ϕ ] d ϕ ( X ) } | Ω ⟩ j   .
    Surgen más sutilezas debido al símbolo de ordenación del tiempo. T C o v en las funciones de correlador, cf. por ejemplo, esta publicación Phys.SE relacionada.

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1 Para la derivación, consulte cualquier buen libro de texto sobre QM/QFT.

Los operadores de campo de Heisenberg ϕ ^ ( X , t ) de hecho obedecen las ecuaciones EL, sin embargo, los valores esperados de estos operadores no lo hacen y requieren correcciones. Por ejemplo, un valor esperado que contiene dos operadores de campo obedece

( ∂ X 2 − metro 2 ) ⟨ 0 | T ϕ ( X ) ϕ ( y ) | ⟩ = − i d 3 ( X − y )
el término en el RHS se llama término de contacto.

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