¿Por qué el operador de campo libre es el mismo con las interacciones presentes?

En teoría escalar libre, el campo tendría la expresión

ϕ ( X ) = ∫ d 3 pag ( 2 π ) 3 2 mi pag a pag mi − i pag m X m + a pag † mi i pag m X m
Supongamos que tenemos una interacción con un campo complejo ψ , tal que el lagrangiano tiene el término de interacción
L = − gramo ψ † ψ ϕ
Mi duda es: ¿los operadores de campo ϕ ( X ) y ψ ( X ) tienen la misma expresión que en la teoría libre? Parece que esto es cierto, pero no estoy seguro de por qué.

Pensé en estas posibilidades:

  1. Estamos en el cuadro de interacción, lo que significa que la evolución de los operadores está gobernada por el hamiltoniano libre. Es decir, si pasamos de la imagen de Schrödinger a la imagen de interacción, solo necesitamos el hamiltoniano libre. Aún así, el operador en la imagen de Schrödinger debería ser modificado por la interacción. Después de todo, la expresión del campo libre se obtuvo resolviendo la ecuación de Klein-Gordon y cuantificando la solución. De la misma manera, debemos resolver las ecuaciones de movimiento, que serán algo así como

    ( ◻ + metro 2 ) ϕ = − gramo ϕ ψ
    y luego cuantizar.

  2. Como estamos haciendo teoría de perturbaciones, el campo no cambia mucho y es una buena aproximación.

  3. La expresión de campo es independiente del lagrangiano.
Tu punto número 1 es correcto.
@Prahar ¿Podría dar más detalles? ¿Por qué la dependencia de la posición no se ve afectada por la interacción?
Creo que lo que está buscando se llama formalismo de reducción LSZ. Sin embargo, es más bien fenomenológico (ya que asume estados asintóticos). Hasta donde yo sé, no existe un enfoque riguroso para este problema (matemáticamente, la imagen de interacción en QFT ni siquiera existe). Probablemente lo mejor que puede hacer aquí es aceptar el formalismo LSZ (a pesar de sus fallas obvias) como uno que describe la dispersión correctamente (cuando el acoplamiento es pequeño) y olvidarse de este problema, enfocándose en calcular las expectativas de producto del operador ordenadas por tiempo.

Respuestas (1)

La forma rigurosamente definida de los campos que interactúan en 3 + 1 La dimensión no se conoce (todavía), sin embargo, lo más probable es que sea diferente del formulario de campo libre.

Hay un resultado a priori que en un momento aclara y enreda las cosas: el teorema de Haag. Antes de intentar insinuar el resultado y algunas de las consecuencias, me gustaría señalar que, contrariamente a lo que se afirma en este foro (y parece ser una creencia generalizada entre los físicos), el teorema de Haag sí:

  • es algo cierto que hay que tener en cuenta;

  • complica la ingenua imagen de interacción de los campos cuánticos;

  • no impide formular una buena teoría matemática de QFT, y estar de acuerdo con los resultados perturbadores que proporciona la física teórica.

Dicho esto, el teorema de Haag, en forma muy simplificada establece lo siguiente:

Hay un número infinito de irrepresentaciones no equivalentes de las relaciones de conmutación canónicas (para los campos cuánticos). Entre ellos, la representación de una teoría interactuante libre y correspondiente (que ambas satisfacen los axiomas de Wightman) no son equivalentes .

Los axiomas de Wightman son axiomas matemáticos que se consideran un requisito mínimo para que una teoría cuántica de campos esté matemáticamente bien definida, y se sabe que las teorías libres y algunas teorías que interactúan en baja dimensión (p. ej. φ 4 en 2 + 1 dimensiones). Sin embargo, ninguna teoría interactiva en 3 + 1 Se sabe que las dimensiones satisfacen los axiomas.

Sin embargo, el teorema de Haag proporciona una información a priori: los campos cuánticos libres e interactivos son representaciones no equivalentes del CCR. Eso significa que los campos que interactúan no son los mismos que los campos libres; y probablemente no tengan la misma forma, es decir, probablemente no estén en representación de Fock. Digo probablemente, porque hay representaciones de Fock que son unitariamente inequivalentes entre sí, por lo que el teorema de Haag no impide que los campos que interactúan sean Fock, solo que tienen que ser al menos un "Fock no equivalente" con respecto a los libres.

Además, sabemos (a partir de los pocos ejemplos rigurosos que tenemos) que la forma de los campos que interactúan de hecho depende de la teoría en cuestión: así, para alguna teoría, el campo que interactúa puede estar en una representación de Fock, para otra en una no-. Joder uno.

Permítanme concluir la respuesta con un comentario sobre el hecho de que incluso si las teorías libres e interactivas no son unitariamente equivalentes, uno puede desarrollar una teoría de dispersión que proporcione los resultados conocidos por los físicos (por ejemplo, las fórmulas de reducción LSZ) pero también está de acuerdo con Teorema de Haag: esta teoría se llama teoría de dispersión de Haag-Ruelle (y se puede consultar en el tercer volumen de los libros de Reed-Simon).

¡Buen comentario! ¿Puede recomendar alguna literatura que trate sobre el paso a una fase libre de representación de la teoría (límite td)?
@Hamurabi No estoy seguro de entender exactamente su solicitud ... que yo sepa, los únicos resultados de QFT que están completamente libres de representación son los de la teoría algebraica de campos cuánticos (AQFT). El documento de referencia y fundamento sobre este enfoque es el de Haag y Kastler. Sin embargo, no creo que sea posible encontrar resultados dinámicos dentro de AQFT. Por lo general, para tener resultados dinámicos no perturbativos, debe usar una formulación de integral de ruta (sin embargo, a menudo está mal definida matemáticamente) o manipulaciones que comienzan con la representación de Fock.
@Hamurabi Sin embargo, si está buscando literatura sobre un tema más específico, es posible que (no estoy seguro) pueda ayudarlo
¿Por qué el operador de campo libre es el mismo con las interacciones presentes?
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