ϕ4ϕ4\phi^{4} teoría

Creo que la oración que está citando tiene la intención de dar una idea aproximada sobre el significado intuitivo de la$\phi^4$término, no para ser verificado computacionalmente.

1. La solución de la teoría libre (sin el término de interacción) es lo que define cosas como "partículas" y propagadores.$a^\dagger$como se define en la expansión de la teoría libre crea una partícula libre. Por lo general, si considera un proceso de dispersión, antes de que ocurra la dispersión real, las partículas se consideran libres.

2. Todavía están allí. Por lo general, no haces la expansión en el Lagrangiano sino cuando escribes una amplitud de dispersión. Luego, las contracciones de los operadores creador y aniquilador darán lugar a conmutadores que producirán distribuciones delta que consumen las integrales de momento.

3. No estoy seguro de haber entendido bien la pregunta, pero si echas un vistazo a las reglas de Feynman para los diferentes términos del Lagrangiano, verás que un$\phi^4$término corresponde a un vértice con cuatro patas mientras que el Lagrangiano libre (que es cuadrático en el campo) corresponde a un propagador con dos patas. Entonces, el número de patas en una regla de Feynman corresponde a la potencia del campo en el término correspondiente.

Veamos el comentario de Tong en contexto, con lo que me refiero a empezar a leer el Capítulo 3 desde el principio.

Está discutiendo campos que interactúan y comienza escribiendo un Lagrangiano que presenta poderes arbitrariamente altos de$\phi$. Sin embargo, dado que en un$4$-espacio-tiempo dimensional la dimensión energética de$\lambda_n$es$4-n$, resulta que$\lambda_n$con$n>4$se suprimen a bajas energías, a saber.$\lambda_n=g_n\Lambda^{4-n}$con$\Lambda$una escala de energía de nueva física. Así a una energía$E\ll \Lambda$obtenemos$\lambda_n\propto \left(\frac{E}{\Lambda}\right)^{n-4}$, que es pequeño para$n>4$. Esta observación motiva una clasificación de los coeficientes como relevantes, marginales o irrelevantes si sus dimensiones energéticas son respectivamente positivas, nulas o negativas. (El término "relevante" significa "dominante en las escalas que hemos probado"; "marginal" significa "independiente de la escala, por lo tanto dominante ni en energías altas ni bajas".) Tong señala que el hecho de que solo un número finito de términos son relevantes o marginal simplifica QFT.

Luego llegamos al comentario sobre el que preguntaste, en el que analiza cómo varias teorías ($\phi^4$siendo el primero) se comportan bajo pequeñas perturbaciones. Ha desechado acoplamientos irrelevantes, pero$\phi^4$se ha retenido, y es el único término que no está presente en el caso de los campos libres. Recuperamos el caso de campo libre como$\lambda_4\to 0$, entonces el$\phi^4$teoría con pequeñas$\lambda_4$es una perturbación en torno a la teoría de un campo libre, lo que hace que su representación integral de$\phi$aproximadamente válido. La expresión exacta para$\phi$por lo tanto agrega algunos$\lambda_4$-términos dependientes que, en comparación con la integral original, son bastante pequeños. Por lo tanto, todavía es razonable pensar en lo que sucede con los elementos de matriz de los monomios de operadores de escalera.

1. Cambia a la 'imagen de interacción' de la mecánica cuántica, en la que los operadores se dan en términos de operadores estáticos de Schrödinger como ($H_0$es el hamiltoniano libre,$H_I$es el término de interacción,$H=H_0+H_I$es el hamiltoniano completo):

$$A_I = e^{iH_0t}A_Se^{-iH_0t}$$

y los estados se dan en términos de estados estáticos de Heisenberg como:

$$|\psi_I(t)\rangle = e^{iH_0t}e^{-i(H_0+H_I)t}|\psi_H\rangle.$$

A continuación, puede mostrar que$U_{int} \equiv e^{iH_0t}e^{-i(H_0+H_I)t}$está dado por una expansión de la serie Dyson en$H_I$:

$$U_{int} = \exp\left(-i\int e^{iH_0t}H_Ie^{-iH_0t}\ dt\right)$$

y generalmente decimos$H_{int} \equiv e^{iH_0t}H_Ie^{-iH_0t}$. Está en la Sección 3.1 de las notas de David Tong, pero la Sección 4.2 de Peskin y Schroeder tiene una discusión más detallada que encontré útil.

2. te expandes$U_{int}$como una 'serie Dyson':

$$U_{int} = 1 - i\int dt' H_{int}(t') + (-i)^2 \int dt' \int dt'' H_{int}(t') H_{int}(t'') + \cdots$$

El$n$El término de esta serie corresponde a una familia de diagramas de Feynman, todos con$n$vértices.

3. No lo hacen, solo dan como resultado una ecuación de movimiento no lineal.$\phi^2$Los términos dan términos lineales en la ecuación de Klein Gordon, por lo que solo puede mirar las soluciones de onda plana (y simplemente encuentra que estos$\phi^2$términos esencialmente dan lugar a un término de masa en la relación de dispersión). Si desea estudiar un comportamiento más complejo que generalmente llamamos 'interacción', necesita poderes superiores.