Pregunta ingenua sobre la necesidad de construir el 4-velocidad

Question

Pregunta ingenua sobre la necesidad de construir el 4-velocidad

MNRaia

La relatividad especial no nació como una teoría de 4 covariantes. En cambio, Einstein derivó las cantidades cinemáticas sin espacio-tiempo, por lo tanto sin 4-vectores.

Considera entonces lo siguiente:

Primero, Einstein derivó la cinemática de la Relatividad en términos de geometría euclidiana 3D y con los postulados de la relatividad especial, mostrando los conceptos fundamentales de la física casi a la velocidad de la luz (por ejemplo, la dilatación del tiempo). Luego, Minkowski introdujo el espacio-tiempo y el intervalo invariante; el formalismo métrico de la relatividad especial. Además, con el formalismo de Minkowski se necesitaba un nuevo tipo de objeto para ensamblar las cantidades cinemáticas en el formalismo del espacio-tiempo. Una de estas cantidades era el vector de velocidad que requería un concepto de vector de 4 velocidades. Pero en la transición al formalismo del espacio-tiempo, el vector de velocidad no se transforma (con una transformación de Lorentz) como un vector verdadero. Para construir el concepto de velocidad en el espacio-tiempo debemos considerar el tiempo propio.

Bueno, este párrafo es mi conclusión sobre el tema, pero esta es una conclusión intuitiva. La explicación formal es entonces que 3 velocidades no es un objeto vectorial, porque los componentes no se transformaron como vectores bajo una transformación de Lorentz:

\begin{matrix} (1) & \frac{d X^{' m}}{d t^{'}} = Λ_{v}^{m^{'}} \frac{d X^{v}}{d t} \frac{d t}{d t^{'}} = \frac{Λ_{v}^{m^{'}}}{Λ_{v}^{0^{'}} X^{v}} \frac{d X^{v}}{d t} \neq Λ_{v}^{m^{'}} \frac{d X^{v}}{d t} \end{matrix}

$\frac{dx'^{\mu}}{dt'} = \Lambda^{\mu'}_{\nu}\frac{dx^{\nu}}{dt} \frac{dt}{dt'} = \frac{\Lambda^{\mu'}_{\nu}}{\Lambda^{0'}_{\nu}x^{\nu}}\frac{dx^{\nu}}{dt} \neq \Lambda^{\mu'}_{\nu}\frac{dx^{\nu}}{dt}\tag{1}$

Aún así, sigo sin entender lo siguiente:

1) Podemos escribir la 4-velocidad como,
$tu (τ) = (\frac{d X^{0}}{d τ}, \frac{d X^{1}}{d τ}, \frac{d X^{2}}{d τ}, \frac{d X^{3}}{d τ})$ $u(\tau) = (\frac{dx^{0}}{d\tau},\frac{dx^{1}}{d\tau},\frac{dx^{2}}{d\tau},\frac{dx^{3}}{d\tau})$

pero con relación,

$d τ = \frac{1}{γ} d t$ $d\tau = \frac{1}{\gamma}dt$

podemos escribir la 4-velocidad en términos de 3-velocidad
$tu (t) = γ (C, \vec{v} (t))$ $u(t) = \gamma(c,\vec{v}(t))$

Quiero decir, si ya tenemos un objeto invariable, las cuatro velocidades, ¿por qué uno quiere considerar 4 velocidades en términos de 3 velocidades?

kyle kanos

Me imagino que está relacionado en gran medida con que a las personas se les enseñen 3 vectores antes que 4 vectores, por lo que escribir el 4 vector en términos del 3 vector probablemente se deba a la familiaridad.

Respuestas (2)

Pregunta ingenua sobre la necesidad de construir el 4-velocidad

Me imagino que está relacionado en gran medida con que a las personas se les enseñen 3 vectores antes que 4 vectores, por lo que escribir el 4 vector en términos del 3 vector probablemente se deba a la familiaridad.

Observador inercial · Answer 1

No estoy seguro de entender tu pregunta. Pero parece que estás diciendo por qué es útil definir la 4-velocidad en términos de la 3-velocidad $\vec{v}$ ? Mi respuesta es bastante breve, pero creo que es suficiente para abordar su inquietud.

Respuesta :

¡Porque es todo el objetivo! Es decir, todo el objetivo del formalismo de Minkowski era precisamente generalizar la noción de 3 posiciones, velocidad, etc. en cantidades covariantes de Lorentz.

¿De qué otra manera se podría construir una generalización de Minkowski de la velocidad de un objeto? $\vec{v}$ . Si queremos que sea algo significativo , entonces debería incorporar nuestra "antigua noción" de velocidad con esta nueva.

Dado que un objeto se mueve a una velocidad $\vec{v}$ No puedo pensar en otra forma de construir un 4 $^{th}$ componente con las mismas dimensiones que se transforma covariantemente distinto de

V^{m} \equiv \frac{d X^{m}}{d X^{τ}}

$V^\mu \equiv \frac{dx^\mu}{dx^\tau}$

robar · Answer 2

Quiero decir, si ya tenemos un objeto invariable, las cuatro velocidades, ¿por qué uno quiere considerar 4 velocidades en términos de 3 velocidades?

Elaborando el comentario de @Kyle...

Si bien las cantidades geométricas y los cálculos invariantes suelen ser claros, precisos y concisos (degradando la necesidad de componentes y fórmulas de transformación), a
menudo se expresan cantidades geométricas en términos de componentes de espacio y tiempo porque están relacionados con mediciones realizadas con los aparatos de un observador. .. y estos están mejor ligados a nuestra interpretación física. En cierto sentido, las 3 cantidades son nuestras muletas para las 4 cantidades más geométricas.

La 3-velocidad representa la velocidad relativa entre observadores.

De manera similar, uno expresa el tensor de campo electromagnético en términos de campos eléctricos y magnéticos, medidos por un observador.

etcétera.

Pregunta ingenua sobre la necesidad de construir el 4-velocidad

MNRaia

kyle kanos

Respuestas (2)

Observador inercial

robar

Otra pregunta sobre la derivación de cuatro velocidades.

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