Otra pregunta sobre la derivación de cuatro velocidades.

Considere, nuevamente ( Pregunta sobre la derivación del vector de cuatro velocidades ) lo siguiente:

Para una partícula masiva con posición$x^{\mu}(t) = (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}) \equiv (x^{0},\vec{x})$definimos la velocidad coordenada como:

$$v^{\mu} := \frac{dx^{\mu}}{dt} \equiv (c,\vec{v})\tag{1}$$ Donde los componentes espaciales de$(1)$coincide con el vector velocidad clásico y t es la coordenada tiempo .

Pero,$(1)$de hecho, no es un objeto vectorial, porque los componentes no se transformaron como vectores bajo una transformación de lorentz:

$$\frac{dx'^{\mu}}{dt'} = \Lambda^{\mu'}_{\nu}\frac{dx^{\nu}}{dt} \frac{dt}{dt'} = \frac{\Lambda^{\mu'}_{\nu}}{\Lambda^{0'}_{\nu}x^{\nu}}\frac{dx^{\nu}}{dt} \neq \Lambda^{\mu'}_{\nu}\frac{dx^{\nu}}{dt}\tag{2}$$

Entonces, todavía tengo dudas sobre$(2)$. Lo sabemos$(1,0)-$Los tensores en el espacio de Minkowski se transforman como:

dónde$\Lambda^{\mu'}_{\nu}$es la matriz de impulso:

Entonces, en primer lugar, Einstein derivó la cinemática de la Relatividad en términos de geometría euclidiana 3D y con los postulados de la relatividad especial, mostrando los conceptos fundamentales de la física cerca de la velocidad de la luz (por ejemplo, la dilatación del tiempo). Luego, Minkowski introdujo el espacio-tiempo y todo el conjunto de un intervalo invariante, es decir, el formalismo métrico de la relatividad especial. Además, con el formalismo de Minkowski se necesitaba un nuevo tipo de objeto para ensamblar las cantidades cinemáticas en el formalismo del espacio-tiempo. Una de estas cantidades era el vector de 4 velocidades, que requería un concepto de 4 vectores. Pero incluso si uno define un vector de 4 verdaderos, este vector debe transformarse adecuadamente bajo una transformación de Lorentz; ese es el caso de cuatro velocidades.

Entonces, considere, entonces, un intento de velocidad 4-cuatro, definida como:

Dónde$t$, es la coordenada de tiempo en$S$marco de referencia [con$x^{\mu} = (ct,x(t),y(t),z(t))$coordenadas]. Entonces, si queremos un verdadero Minkowski, debemos verificar el carácter del tensor:

Como era de esperar, esto no está bien (y el verdadero comportamiento es introducir el momento adecuado). Y ese es el punto, no entiendo esto, lo que es$t'$? Propertime o simplemente coordine el tiempo en$S'$?Bueno, en realidad estoy perdido en lo que realmente está pasando en$(2)$, por qué usamos la regla de la cadena, cuál es la dependencia de los tiempos [quiero decir si es$t(t')$o$t'(t)$]etcétera.