Aplicando la Transformación de Lorentz

SUGERENCIA: La forma más fácil de resolver este problema es dejar que la nave espacial esté en el "marco de reposo" y dejar que la Tierra sea el "marco en movimiento". ¿Cuál es la velocidad de la Tierra en relación con el "marco de reposo"?

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Como un aparte, usted dice que:

Sé que las matemáticas muestran que tomar el marco de referencia incorrecto nos da un valor de magnitud mayor que la velocidad de la luz y, por lo tanto, tendríamos que tomar la otra ecuación de Lorentz.

Tomar el marco de referencia incorrecto en las ecuaciones de transformación de velocidad puede dar una respuesta incorrecta, pero nunca debería dar una respuesta mayor que$c$a menos que una de las velocidades de "entrada" ($u$o$v_x$) es mayor que$c$. Si obtuviste una respuesta mayor que$c$con ambos$|u|$y$|v_x|$menos que$c$, probablemente aplicó la ecuación incorrectamente.

Primero, recomiendo usar el símbolo$v$ser la velocidad relativa de los dos marcos de referencia, es decir, el marco de referencia inercial primado (IRF) tiene velocidad$v$en relación con el IRF no imprimado. Tenga en cuenta que$|v| < c$(no hay IRFs con velocidad relativa$c$)

Segundo, usa$u$($u'$) para la velocidad del objeto en el IRF no cebado (cebado).

Entonces, por la fórmula de suma de velocidad relativista ,

$$u = \frac{v + u'}{1 + \frac{vu'}{c^2}}$$

Veamos si esto tiene sentido. Si la velocidad del objeto en el IRF preparado es$u'$y y si la IRF primada tiene velocidad$v$en el IRF no cebado, entonces parece intuitivo que la velocidad del objeto en el IRF no cebado implica la suma de$v$y$u'$.

Ahora, resuelve para$u'$:

$$u' = \left(1 + \frac{vu'}{c^2}\right)u - v \rightarrow u'\left(1 - \frac{vu}{c^2}\right) = u-v \Rightarrow u' = \frac{u - v}{1 - \frac{vu}{c^2}}$$

por lo que su segunda ecuación tiene un error de signo es correcta.

La velocidad de la nave espacial y la nave exploradora se dan en relación con la Tierra, mientras que la velocidad de la sonda espacial robótica se da en relación con la nave espacial.

Dado que la velocidad$u'$de la sonda espacial robótica (RSP) se da en relación con la nave espacial y dado que conocemos la velocidad$v$de la nave espacial con respecto a la Tierra, la velocidad$u$de la RSP en relación con la Tierra viene dada por la primera ecuación anterior.

$$u = \frac{0.9 + 0.7}{1 + (0.9)(0.7)}c = 0.981c$$

Sin embargo, supongamos que tenemos que encontrar la velocidad de la nave exploradora en relación con la nave espacial, ¿qué ecuación de transformación de Lorentz deberíamos usar?

Puede usar cualquiera siempre que identifique correctamente las velocidades en función de lo que escribí anteriormente. Pero sabemos que la nave espacial tiene velocidad.$v$relativo a la Tierra y conocemos la velocidad$\nu$de la nave exploradora relativa a la Tierra (yo uso$\nu$aquí para distinguir la velocidad de la nave exploradora de la velocidad del RSP).

Por lo tanto, podemos usar la segunda ecuación anterior para encontrar la velocidad$\nu'$de la nave exploradora en relación con la nave espacial:

$$\nu' = \frac{\nu - v}{1 - \frac{v\nu}{c^2}} = \frac{0.95 - 0.9}{1 - (0.95)(0.9)}c = 0.345c$$

Comprobemos dos veces:

$$\nu = \frac{0.9 + 0.345}{1 + (0.9)(0.345)}c = 0.95c$$

Sin embargo, podrías haber usado la primera ecuación eligiendo que la nave espacial fuera el IRF no imprimado. Lo dejo como ejercicio para el lector interesado.