Sea A una proposición arbitraria. Recientemente leí algunos artículos que usan una notación diferente para expresar la noción de que "A es verdadero". Los dos que me preocupan son los siguientes:
(1) [[A]] es cierto
(2) ⌈ A ⌉ es verdadero
Incluso he visto estas dos notaciones diferentes utilizadas en el mismo artículo. ¿Cuál es la diferencia típica entre los dos, si la hay? Sospecho que [[A]] (a menudo) se refiere, literalmente, a un conjunto de mundos, mientras que ⌈A⌉ se refiere solo a una proposición sin comprometerse a si es un conjunto de mundos o no, pero estoy lejos de estar seguro aquí.
¿Alguien está familiarizado con la notación típica en la literatura aquí? ¿Qué pasa con corchetes individuales como [A]?
El primero (a menudo llamado paréntesis semánticos ) se encuentra principalmente en la semántica formal , y es el nombre de la función de evaluación , que asigna expresiones en un lenguaje formal a objetos en el modelo de evaluación. Supongamos que A es la oración "la nieve es blanca". Así es como se usan los corchetes semánticos:
[["A"]] es cierto ≡ la nieve es blanca
El segundo (a menudo llamado comillas de esquina ) se encuentra principalmente en contextos en los que se trabaja con dos lenguajes: un lenguaje objeto y un metalenguaje , y es muy importante tener en cuenta la distinción. Mapea expresiones en el metalenguaje a expresiones en el lenguaje objeto. Tu ejemplo:
⌈ A ⌉ es verdad ≡ "la nieve es blanca" es verdad ≡ la nieve es blanca
El punto de las citas de esquina aquí fue reemplazar la A metalingüística con la expresión "la nieve es blanca", que a diferencia de A también se encuentra en el lenguaje objeto. Una vez que se realiza el reemplazo, las comillas de las esquinas se reemplazan con comillas ordinarias y, a partir de ahí, la definición tarskiana habitual hace su magia.
Por último, no estoy familiarizado con ningún uso de [] en el contexto de la semántica.
Con respecto a la notación de paréntesis, básicamente tienes razón. Es más fácil expresar la idea de la siguiente manera. Digamos, para concretar, que estamos tratando con una oración "A o no-B". Esto es lógicamente equivalente a "no-(no-A y B)" y "si B, entonces A" (al menos en la lógica clásica). Pero las tres son oraciones distintas (una es una disyunción, otra es una negación de una conjunción, otra es un condicional). Se puede pensar que la notación "[A]" o, a veces, "[[A]]" denota convenientemente el "contenido proposicional" de A (que se puede hacer matemáticamente más preciso). Por ejemplo, en nuestro ejemplo original, [A o no-B] = [no-(no-A y B)] = [si B, entonces A]. (No creo que haya' sa diferencia significativa entre corchetes simples y corchetes dobles; hasta donde yo sé, es simplemente una preferencia notacional).
Por ejemplo, en el contexto de la lógica modal, [A] puede denotar el conjunto de estados en algún modelo en el que A es verdadera. En el contexto de los retículos o la lógica algebraica, [A] puede considerarse como un punto en un retículo que denota A (y todos sus equivalentes lógicos).
Las citas de esquina, por otro lado, son de naturaleza más sintáctica. Se ven con mayor frecuencia en el contexto de modelos no estándar de PA, teoría de conjuntos, o cuando se trata de sistemas que son lo suficientemente poderosos para codificar oraciones de su lenguaje (como a veces se ve, por ejemplo, en debates sobre el Mentiroso). paradoja). Las comillas de esquina colocadas alrededor de una proposición forman un término en el idioma con el que está tratando y, por lo tanto, pueden aparecer y referirse directamente a las fórmulas. Sin embargo, por lo general, las comillas de esquina alrededor de proposiciones lógicamente equivalentes no denotarán los mismos términos.
A veces también se usan para explicar adecuadamente la distinción entre uso y mención con fórmulas complejas, aunque esto es más un dispositivo/preocupación filosófica que matemática. (Consulte el folleto de John MacFarlane sobre cuantificadores de sustitución para obtener una explicación).
prash