La concepción de verdad de Tarski para fórmulas de longitud infinita

¿La concepción semántica de la verdad de Tarski, en particular, su convención (T) (X es verdadera si y sólo p), se extiende a fórmulas de longitud infinita?

No sé la respuesta a esto, pero solo quiero señalar, que estoy seguro de que sabe, que Gentzen usó fórmulas hasta e_0 para probar la consistencia de la aritmética.
@MoziburUllah: la prueba de Gentzen usa la inducción hasta epsilon_0 como axioma en la metateoría.
Sí; ver Lógica infinita y Definiciones de verdad de Tarski : "Ya en la década de 1950, los teóricos del modelo estaban interesados ​​​​en lenguajes formales que incluyen tipos de expresión diferentes de cualquier cosa en el artículo de Tarski de 1933. Extender la definición de verdad a las lógicas infinitas no fue ningún problema".

Respuestas (1)

Hay dos tipos de expresiones infinitas (fórmulas, cadenas, palabras): 1) Las que se pueden describir mediante expresiones finitas, y 2) las que tienen una complejidad infinita y no se pueden reducir a expresiones finitas.

Ejemplos del primero en el dominio de los números reales son 0.111... o SUM(1/n!). Estas expresiones definen con precisión los números como sus límites, y también se pueden usar expresiones lógicas análogas.

Ejemplos del segundo tipo son la mayoría de los números reales porque hay innumerables expresiones finitas, pero solo numerables. Estos números excedentes son indefinibles y, por lo tanto, no pueden tener un valor numérico que pueda comunicarse en el discurso matemático. Lo mismo es cierto para secuencias infinitas de átomos lógicos u otras expresiones infinitas. No pueden tener un valor de verdad porque cada valor de verdad obtenido hasta cierto paso podría ser negado en el siguiente paso. Sin un "Fin de archivo" no hay valor perceptible.

Lo que está pasando es directamente análogo al hecho de que el problema de aceptación de la máquina de Turing no es decidible: no existe un conjunto que exprese la relación de que un número real (interno) dado satisface una fórmula (interna) dada. (asumiendo que no he cometido un error)
@Hurkyl: el tuyo es un error común (al que también se adhirió Cantor). Una fórmula es una secuencia finita de letras sobre un alfabeto finito. Sólo hay contablemente muchas tales fórmulas. Véase Weyl: "Las posibles combinaciones de un número finito de letras forman un conjunto contable" o Bernays: "si perseguimos la idea de que cada número real está definido por una ley aritmética, la idea de la totalidad de los números reales ya no es indispensable" o Kurt Schütte: "Si definimos los números reales en un sistema estrictamente formal, ... entonces estos números reales ciertamente pueden enumerarse". O enumérelos usted mismo.
¿Por qué debería haber un conjunto que dé una enumeración? Por cierto, el mismo fenómeno ocurre en la teoría de la computación: simplemente usamos el término "recursivamente enumerable" en lugar de "contable".
@Hurkyl: ¿Por qué debería haber un conjunto que proporcione una enumeración? Porque todas las fórmulas pertenecen a un conjunto enumerable. (También puede llamarlo recursivamente enumerable). Por lo tanto, las matemáticas nos dicen que no hay suficientes fórmulas para los números reales.
No estaba preguntando por qué debería haber un conjunto que enumera fórmulas, estaba preguntando por qué eso, junto con la hipótesis de que cada número real puede ser dado por una fórmula, debería implicar que existe un conjunto que enumera los reales.
Para reducir el problema, seguramente usted concibe la noción de pares (P,r) donde P es un predicado, r es un número real y r es el único objeto en el universo teórico de conjuntos que satisface P. La pregunta es por qué debería haber Sea un conjunto de todos estos pares.
Debemos ser cuidadosos. r no es un número real sino una expresión que puede ser sustituida por un número real. Por ese motivo, debe definir el número que desea utilizar. Sin embargo, no puede definirlo si tiene una infinidad de dígitos sin una fórmula que permita obtener cada dígito.
No veo por qué, para introducir una variable de tipo número real, se necesitaría una fórmula para los dígitos (¡esa ni siquiera es una buena noción en el análisis computable!), pero hay una disponible: el dígito en el lugar n es el resto de piso(|r| / 10^n) cuando se divide por 10.
La cuestión no es introducir una variable. La pregunta es si todos los números reales se pueden definir. La respuesta es: si hay muchos números reales incontables, entonces la mayoría de ellos no se pueden definir, porque diferentes números reales requieren definiciones diferentes, pero solo hay muchas definiciones contables. - Lo siento, esto es conocimiento básico. Me detendré aquí.
Sí, estoy de acuerdo, es un error común . La cardinalidad puede concebirse como una medida de complejidad tanto como una medida de tamaño. Aconsejo entender las cosas en términos de la primera si la segunda lo engaña.
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