Lógica modal: una cuestión de accesibilidad

Puede hacer la semántica para QML de una de dos maneras, ya sea dominio variable o dominio constante. Para mantener los mundos aislados (es decir, para prohibir la superposición) como lo hace Lewis en su realismo modal, se requiere un enfoque de dominio variable (dado que el dominio del cuantificador de cada mundo está separado de cualquier otro mundo). Puede leer acerca de estos dos enfoques en la segunda mitad del libro de Priest, capítulos 14 y 15 de la segunda edición.

Vale la pena enfatizar que esta prohibición de la superposición de mundos es un postulado metafísico que forma parte de la visión metafísica del realismo modal de Lewis . De ninguna manera se te impone por la lógica modal en sí.

Si no hay relación entre los mundos, ¿cuál es la noción de accesibilidad? ¿Y cómo puede ser que haya dos mundos que no se accedan?

Ah, pero hay relaciones que se mantienen entre los mundos. Hay relaciones de similitud para Lewis y relaciones de accesibilidad en la teoría de modelos de la lógica modal. Las relaciones entre mundos que prohíbe Lewis son relaciones espaciotemporales y causales . Su tesis es que los mundos están espacial y causalmente aislados unos de otros, no que no existan relaciones entre los mundos.

Si tiene una lógica modal S5 (como supone Lewis en OPW), puede, como señala la respuesta de Eric, ignorar la accesibilidad ya que se puede acceder a todos los mundos desde todos los mundos (ya que la accesibilidad es una relación de equivalencia en S5). Sin embargo, si comienza con dos mundos aislados w1 y w2, entonces tendrá dos clases de mundos de equivalencia disjuntas (donde cada clase es tan grande como la totalidad del "espacio lógico" de Lewis). Sin embargo, esto generalmente no es un problema en las aplicaciones metafísicas de la lógica modal (como el realismo modal de Lewis), ya que generalmente comenzamos desde el mundo real y no conozco a nadie que haya argumentado que dos mundos pueden ser ambos reales ( al mismo tiempo).

¿Qué significa que w1 y w2 sean accesibles?

Lo que significa es simplemente que las proposiciones verdaderas en esos mundos pueden ser relevantes para evaluar el valor de verdad de las proposiciones modales en el mundo desde el que se puede acceder a w1 y w2. Por ejemplo, si w0Rw1 y w0Rw2 entonces para que []p (necesariamente p) sea verdadero en w0, p tendrá que ser verdadero en w1 y w2.

¿Cuáles son ejemplos de dos mundos posibles que no comparten una relación de accesibilidad (Qué es lo que los hace inaccesibles)?

En sistemas más débiles que S5 (o en la extraña versión de S5 que describí anteriormente), a menudo tendrás mundos que son inaccesibles entre sí. Por ejemplo, en K no hay restricciones de accesibilidad, por lo que no puede estar seguro de que los mundos accedan a otros. Como un extraño efecto secundario, puedes tener un mundo w1 en el que tanto []p como ~p sean verdaderos. Dado que la accesibilidad no es reflexiva en K, no es necesario que p sea verdadero en w1 para que []p sea verdadero y, por lo tanto, no haya contradicción.

Lo que significa que un mundo w1 sea "inaccesible" es simplemente que las proposiciones verdaderas en w1 no hagan ninguna diferencia en la evaluación de declaraciones modales en mundos que no acceden a w1.

Para responder una pregunta que no hiciste: pero ¿por qué Lewis asume S5?

Bueno, parece haber un amplio acuerdo en que S5 captura la noción de necesidad lógica. Por eso Lewis llama al espacio de los mundos posibles espacio lógico .

Pero a menudo desea considerar otros tipos de necesidad/modalidad. Por ejemplo, en la lógica de la demostrabilidad le interesa la demostrabilidad más que la posibilidad. En general, se piensa que la lógica de probabilidad tiene una fuerza intermedia entre S4 y S5 (he visto que se afirma que es S4.2 o S4.3 con mayor frecuencia).

Respuesta más corta: si ha definido un modelo adecuado, sabe que R (w1, w2) si en su modelo el par (w1, w2) está en la extensión de R . Si no tiene un modelo, puede inferir esto de las supuestas propiedades de R , por ejemplo, de R(w0, w1) y R(w0, w2) puede inferir R(w1, w2) si R es euclidiana . Usted define esta relación en la forma que caracteriza la modalidad en cuestión. En primer lugar, debe tener una idea de qué propiedades tiene la modalidad respectiva.

Respuesta más larga: la relación de accesibilidad no tiene significado fuera del sistema formal en general, porque su interpretación depende del propósito para el que usas la lógica modal. Por ejemplo, para la creencia racional a veces se utiliza el sistema KD45, que tiene una relación de accesibilidad serial, transitiva y euclidiana. Entonces, si R(w1, w2) , entonces algunas personas interpretarían esto como " w2 es compatible con lo que el agente cree en w1". Sin embargo, desde un punto de vista formal esta interpretación es insignificante, porque lo que cuenta son las propiedades formales de la relación, es decir, en este caso que sea serial, transitiva y euclidiana. Estas propiedades corresponden directamente a los axiomas en la teoría de la demostración de la lógica. En el caso de KD45, por ejemplo, corresponden a (D) consistencia, y (4) axiomas de introspección positivos y (5) negativos. (El axioma (K) se cumple por defecto en todas las lógicas modales normales).

Estoy seguro de que alguien ha escrito algo al respecto, pero personalmente no leería demasiado sobre las relaciones de accesibilidad. Son más o menos un tecnicismo, aunque importante.

Respuesta original y detallada: en primer lugar, Priest y Lewis tienen puntos de vista diferentes sobre la cuestión de qué objetos pueden 'habitar' mundos diferentes. Lewis es un realista modal, suscribe la opinión de que un mismo objeto no puede residir en dos mundos al mismo tiempo, razón por la cual desarrolló la teoría de la contraparte. Priest proviene de una tradición más moderna que no se basa en la teoría de la contraparte. Hasta donde yo sé, él permite que en sus sistemas exista el 'mismo' objeto en diferentes mundos donde podría tener diferentes propiedades. (A veces permite mucho más, por supuesto, porque muchos de sus sistemas son paraconsistentes. Tenga en cuenta que la igualdad no puede ser la identidad leibniziana entre mundos en este contexto. La identidad entre mundos se ha debatido extensamente desde los años 70 del siglo pasado).

Otra cuestión a tener en cuenta es si una constante en el mundo w puede referirse a un objeto que reside en el mundo u . No sé si Priest permite esto, pero, por ejemplo, Fitting & Mendelsohn lo hacen en su libro sobre lógica modal de primer orden. En caso de duda, siempre debe consultar las reglas para la evaluación de términos en el sistema lógico.

Con respecto a la accesibilidad entre mundos, tanto Lewis como Priest deben permitir una relación de accesibilidad binaria entre mundos por razones técnicas, siempre que quieran permanecer dentro del ámbito de la lógica modal normal con los marcos de Kripke. Si omite la accesibilidad, termina con un sistema como S5. (Digo "como S5", porque estrictamente hablando, el sistema con el que terminas es S5 con modalidad de caja global o S5 con modelos en los que se han eliminado todos los mundos inaccesibles).

Hay otros sistemas, por ejemplo, la lógica modal con semántica de vecindad, que generalizan la lógica modal normal y no tienen una relación de accesibilidad. Si no me equivoco, Lewis también estudió algunos de ellos en su trabajo sobre lógica condicional. Sin embargo, incluso en estos sistemas más generales es necesario restringir los conjuntos de operadores modales de mundos que se ejecutan de alguna manera, por ejemplo mediante una 'función de selección', para que se comporten de una manera interesante.

Mucho se ha escrito sobre lo que todo esto significa desde un punto de vista metafísico y nunca se ha llegado a un acuerdo final, pues depende de varias posiciones que se puedan tomar. Por ejemplo, hace una diferencia si eres un realista modal o si crees que los mundos posibles son ontológicamente reducibles y, de ser así, de qué manera, y si los mundos posibles son esencialmente modelos de un lenguaje base no modal (Hintikka) o no. . Cocchiarella (1989, 2007) ha trabajado mucho sobre la metafísica de la modalidad, y también encontrarás muchos aspectos metafísicos abordados por Kit Fine. Sin embargo, estos autores no son fáciles de leer y requieren una buena formación técnica.

Adición: olvidé mencionar que no conozco ningún autor que afirme que los mundos posibles puedan interactuar causalmente entre sí, pero la accesibilidad no implica una interacción causal.

Si dos mundos fueran accesibles entre sí, entonces de hecho son un mundo; de la misma manera, si hay una puerta entre dos habitaciones, esas dos habitaciones son de hecho parte de una casa. Por lo tanto, si hay dos mundos, entonces son inaccesibles entre sí.

Aunque Occams Razor dice que hay un mundo, y estamos en él. Uno puede invertir el corte y decir, si hay un Mundo, ¿por qué no puede haber más? ¿Quizás existen todos los mundos que no violan la lógica?