Pregunta básica sobre superespacio, números de Grassmann y supersimetría de láminas universales

Question

Pregunta básica sobre superespacio, números de Grassmann y supersimetría de láminas universales

Física
teoria de las cuerdas
supersimetría
Grassmann-números
superespacio-formalismo

acción mínima

Entonces, estoy tratando de leer la sección sobre el superespacio del libro sobre teoría de cuerdas de Becker, Becker y Schwarz, y me di cuenta de que me había quedado atascado en algo simple por un tiempo. Algunas ecuaciones relevantes son:

\begin{matrix} (4.19) & Y^{m} (σ, θ) = X^{m} (σ) + \bar{θ} ψ^{m} (σ) + \frac{1}{2} \bar{θ} θ B^{m} (σ) \end{matrix}

$Y^\mu(\sigma,\theta)=X^\mu(\sigma)+\bar\theta\psi^\mu(\sigma)+\frac{1}{2}\bar\theta\theta B^\mu(\sigma)\tag{4.19}$

\begin{matrix} (4.20) & q_{A} = \frac{\partial}{\partial {\bar{θ}}_{A}} - (ρ^{α} θ)_{A} \partial_{α} \end{matrix}

$Q_A=\frac{\partial}{\partial\bar\theta_A}-(\rho^\alpha\theta)_A\partial_\alpha\tag{4.20}$ Aquí

Y

$Y$ es un supercampo,

Q

$Q$ el generador SUSY,

θ

$\theta$ un espinor de Grassmann, y

{ρ^{α}}

$\{\rho^\alpha\}$ las matrices bidimensionales de Dirac.

El libro define la sobrealimentación. $Q_A$ en la ecuación 4.20 y pasa al estado
$\begin{matrix} (4.21) & d θ_{A} = [\bar{ϵ} q, θ^{A}] = ϵ^{A} . \end{matrix}$ $\delta\theta_A = [\bar{\epsilon}Q, \theta^A] = \epsilon^A. \tag{4.21}$ $\begin{matrix} (4.22) & d σ^{α} = [\bar{ϵ} q, σ^{α}] = - \bar{ϵ} ρ^{α} θ = \bar{θ} ρ^{α} ϵ . \end{matrix}$ $\delta\sigma^\alpha = [\bar{\epsilon}Q, \sigma^\alpha] = -\bar{\epsilon}\rho^\alpha\theta = \bar{\theta}\rho^\alpha \epsilon. \tag{4.22}$ ¿Son estas definiciones o pueden justificarse usando la ecuación 4.20? Asumí lo último e intenté "derivarlo" agregando una función de prueba de las supercoordenadas de la hoja mundial, pero me quedé atascado debido al segundo término en el conmutador. ¿Por qué desaparece?
Además, ¿por qué la siguiente es una transformación de supercampo dada por
$\begin{matrix} (4.23) & d Y^{m} = [\bar{ϵ} q, Y^{m}] = \bar{ϵ} q Y^{m} . \end{matrix}$ $\delta Y^\mu = [\bar\epsilon Q, Y^\mu] = \bar{\epsilon}QY^\mu. \tag{4.23}$ Específicamente, el conmutador también contiene un segundo término, pero dejarlo caer de alguna manera aún da la respuesta correcta.
Finalmente, si uno reemplaza la expresión general para el supercampo que es la ecuación 4.19 del libro, uno recupera las transformaciones correctas de la supersimetría de la hoja del mundo, siempre que se tome la derivada de $\bar{\theta}\theta$ con respecto a $\bar{\theta}$ ser -2. ¿Cómo se justifica eso? Las transformaciones son:
$\begin{matrix} (4.25) & d X^{m} = \bar{ϵ} ψ^{m} \end{matrix}$ $\delta X^\mu=\bar\epsilon \psi^\mu\tag{4.25}$ $\begin{matrix} (4.26) & d ψ^{m} = ρ^{α} \partial_{α} X^{m} ϵ + B^{m} ϵ \end{matrix}$ $\delta\psi^\mu=\rho^\alpha\partial_\alpha X^\mu\epsilon+B^\mu\epsilon\tag{4.26}$ $\begin{matrix} (4.27) & d B^{m} = \bar{ϵ} ρ^{α} \partial_{α} ψ^{m} \end{matrix}$ $\delta B^\mu=\bar\epsilon\rho^\alpha\partial_\alpha\psi^\mu\tag{4.27}$

ryan unger

Consulta el ejercicio 4.4 de la pág. 117.

acción mínima

Ya lo hice... por eso planteé esta pregunta. Además, la solución prácticamente establece esto sin explicación.

Respuestas (1)

Pregunta básica sobre superespacio, números de Grassmann y supersimetría de láminas universales

Ya lo hice... por eso planteé esta pregunta. Además, la solución prácticamente establece esto sin explicación.

Motl de Luboš · Answer 1

La variación $\delta F$ para cualquier campo (o grado de libertad) $F$ , dada una transformación infinitesimal, siempre se calcula como el conmutador $d F = [\bar{ϵ} q, F]$ $\delta F = [ \bar\epsilon Q, F ]$ dónde $\bar \epsilon$ es un parámetro ("ángulo" o "cambio" o alguna generalización) de la transformación y $Q$ es el generador. (Esas pueden ser reemplazadas por otras letras).

Esta es la forma habitual basada en el álgebra de Lie de cómo se transforman los operadores. Se puede decir que la transformación finita (pero muy cercana a la identidad) es

tu = Exp (\bar{ϵ} q) = 1 + \bar{ϵ} q + o (ϵ)

$U = \exp(\bar\epsilon Q) = 1 + \bar\epsilon Q + o(\epsilon)$ y la diferencia de los conjugados

F

$F$ del original es la variación

d F = tu F {tu}^{- 1} - F

$\delta F = U F U^{-1} - F$ Entonces, estas reglas totalmente generales que ya se enseñan en la mecánica cuántica de pregrado, etc., solo se aplican al generador.

Q

$Q$ , el "superángulo" infinitesimal

\bar{ϵ}

$\bar\epsilon$ y operadores como

θ^{A}

$\theta^A$ ,

σ

$\sigma$ , y

Y

$Y$ ...

Tenga en cuenta que el producto $\bar\epsilon$ es "bosónico", por lo que sus conmutadores, y no anticonmutadores, entran en las fórmulas. Sin embargo, pueden descomponerse en anticonmutadores.

Esto explica la primera "ecuación" en (4.21) y (4.22). Los siguientes son los cálculos reales, usando (4.20). El segundo término en $Q$ de acuerdo con (4.20), uno que contradice $\partial_\alpha$ , no contribuye en nada a (4.21) porque $\theta^A$ y $\sigma^\alpha$ son coordenadas independientes del superespacio (super world sheet), por lo que se anula la derivada parcial de uno con respecto al otro.

Análogamente, el primer término desaparece y solo el segundo término contribuye en (4.22).

En (4.23), la expresión $QY^\mu$ simplemente significa lo mismo que $[Q,Y^\mu]$ : son los operadores diferenciales en $Q$ , con todos los coeficientes correctos, actuando sobre $Y^\mu$ . Es similar a diferenciar funciones de posiciones en la mecánica cuántica ordinaria. Imagina que tienes una función. $V(x)$ del operador $x$ . Entonces puedes escribir $V'(x)$ , una función diferente y diferenciada del mismo operador $x$ , como $i/\hbar$ veces $[p,V(x)]$ . el conmutador de $p$ (el $x$ -derivada) con el operador hace la diferenciación de las funciones. En los vectores de estado, las derivadas actúan simplemente desde la izquierda, pero la acción análoga en los operadores debe escribirse como conmutadores.

El otro término $[\bar\epsilon,Y^\mu]=$ no contribuye, es cero, porque $\bar\epsilon$ es un (grassmanniano pero aún) $c$ -número. Entonces este análogo es cero al igual que el conmutador. $[5,x]$ en mecánica cuántica.

el derivado de $\bar\theta^A \theta$ con respecto a $\bar\theta^A$ es $+\theta$ , como la división, y uno puede obtener un factor de $2$ hay una suma encima $A$ . Es, hasta posibles signos, la misma pretensión que el $x$ -derivado de $xy$ es $y$ . Debes haber perdido algunos prefactores $\theta$ en algunos términos cuando decidió sobre el resultado incorrecto de la derivada.

El nombre del coautor masculino es John Schwarz, no Schwartz.

Gracias por la respuesta tan detallada Luboš. Disculpas por los errores tipográficos en mi publicación original, que creo que he corregido (algunos de los cuales pueden atribuirse a la finalización del texto que pasé por alto en la computadora de un amigo). No tuve acceso a Internet durante las últimas horas, por lo que no pude responder antes a las solicitudes de otros usuarios sobre la inclusión explícita de todas las ecuaciones.
Solo tengo una consulta más, con respecto al punto 3: la derivada de $\bar{\theta}^A \theta$ es $+\theta$ . Pero cuando los autores escriben un término como $\bar{\theta}\theta$ , supongo que significan $\bar{\theta}^A \theta_A$ , desde $\theta$ es un espinor de Majorana, o simplemente $\bar{\theta} \theta$ , un producto formal de dos números de Grassmann? Creo que mi confusión sobre el factor de 2 se debe a un malentendido de la notación. Gracias nuevamente por las respuestas detalladas a las otras preguntas; la analogía entre [Q, Y] y [p, V(x)] en la mecánica cuántica fue muy útil.
Querido @leastaction, gracias por leer. Sobre $\bar\theta\theta$ , creo que hay un error en tu fórmula. Parece un supercampo quiral que solo depende de $\bar \theta$ , mira el $\psi$ término, por lo que debe escribirse como un argumento en el lado izquierdo y el último $B$ término debería ser en realidad $\bar\theta\bar\theta$ , y eso está destinado a representar $\epsilon_{AB}\bar \theta^A\bar\theta^B$ , quizás con un factor de $1/2$ o $i/2$ o cualquiera que sea su convención. Pero estos campos quirales solo deben contener $\theta$ o solo $\bar\theta$ .
@LubošMotl I, no OP, escribí la ecuación en cuestión. Lo tomé directamente del texto, y su corrección no aparece en la lista oficial de erratas. Tenga en cuenta que $Y^\mu$ no es quiral.
En ese caso, $\theta$ y $\bar\theta$ deben ser tratados juntos y ser equivalentes a $\theta_A$ con diferentes componentes $A$ . Sigue siendo cierto que la derivada de $\theta$ bilineal es $\theta$ lineal.

Pregunta básica sobre superespacio, números de Grassmann y supersimetría de láminas universales

acción mínima

ryan unger

acción mínima

Respuestas (1)

Motl de Luboš

acción mínima

acción mínima

Motl de Luboš

ryan unger

Motl de Luboš

¿El complejo conjugado de una derivada de un número de Grassmann debe incluir un signo?

Variables auxiliares de Grassmann en supergeometría

¿Las coordenadas de Grassmann en el formalismo de supercampo tienen algún significado físico?

Ambigüedad de la derivada temporal de las superfunciones

Acción de supergravedad como integral total, sobre 4 espacio-tiempo y 4 coordenadas de Grassmann

¿Qué es la simetría kappa?

Polchinski, operador de vértice de imagen (0,0)

Transformaciones de supersimetría como transformaciones de coordenadas

Notación de supermatrices

S-Matrix en N=4N=4\mathcal{N}=4 Super-Yang Mills