Pozos cuadrados infinitos y finitos

Version corta:

En el pozo de potencial infinito,$E \geq 0$(porque$V_{min}=0$, y$E \geq V_{min}$). En su pozo de potencial finito, parece que está buscando estados vinculados, en cuyo caso$E < 0$, entonces absorbes el negativo en la raíz cuadrada.

Versión larga:

Cuando aborda un problema de QM, primero debe determinar la admisibilidad de los estados ligados y los estados de dispersión. Si la energía de la partícula es menor que el potencial en$-\infty$y$+\infty$, entonces tienes estados enlazados. Por ejemplo, el pozo cuadrado infinito solo admite soluciones de estado ligado. El pozo de potencial finito puede admitir tanto estados de dispersión como estados ligados dependiendo de la energía (típicamente,$V(\pm \infty) = 0$en un pozo de potencial finito, por lo que si$E < 0$es un estado ligado y si$E > 0$es un estado de dispersión).

Una vez que declares si estás buscando estados ligados o dispersos, tendrás una idea de dónde está tu energía. En el pozo cuadrado finito con$V(\pm \infty) = 0$, si está buscando estados vinculados, entonces sabe$E < 0$. Por lo tanto, para mantener las matemáticas lo más sencillas posible, tiene sentido colocar el negativo en la raíz cuadrada para que el argumento sea positivo.

En el cuadrado infinito bien, sabes que todos los estados están ligados porque$V(\pm\infty)=\infty$. Entonces debemos apelar a otra parte para obtener una restricción sobre la energía. Lo sabemos$E \geq V_{min}$(de lo contrario, la función de onda no se puede normalizar, consulte el problema 2.2 del QM de Griffith). Ya que$V_{min}=0$, después$E \geq 0$. Por lo tanto, no debemos absorber un negativo en la raíz cuadrada para mantener el argumento positivo.

Lo único que es realmente importante es la ecuación diferencial. La situación es, fuera del pozo, en ambos casos:

$\dfrac{d^2 \psi}{dx^2}= - \frac{2mE}{\hbar^2} \psi$

Ahora es un aviso fundamental que para los estados enlazados E<0 podemos escribir:$E=-|E|$y SC. ecuación se convierte en:

$\dfrac{d^2 \psi}{dx^2}= + \frac{2m|E|}{\hbar^2} \psi$

Entonces, la forma habitual de concluir este problema es establecer$k= \sqrt{\frac{2m|E|}{\hbar^2}}>0$, ahora las raíces de la ecuación diferencial son$\pm k$y la solución general es:

$\psi=Ae^{+kx}+Be^{-kx}$

En lugar de eso, puedes resolver el problema de esta manera:

$\dfrac{d^2 \psi}{dx^2}= - \frac{2mE}{\hbar^2} \psi$

(sin valor absoluto explícito)

ahora pon$\alpha= \sqrt{- \frac{2mE}{\hbar^2}}$asi que:

$\dfrac{d^2 \psi}{dx^2}= \alpha^2 \psi$

La solución es (como arriba):

$\psi=Ae^{+\alpha x}+Be^{-\alpha x}$

Y ahora puedes poner el exponente$E=-|E|$(estados enlazados):

$\alpha= \sqrt{- \frac{2mE}{\hbar^2}}=\sqrt{+ \frac{2m|E|}{\hbar^2}}=k$

Finalmente:$\psi=Ae^{+\alpha x}+Be^{-\alpha x}=Ae^{+k x}+Be^{-k x}$

Las soluciones son (obviamente) las mismas en las dos formas diferentes (la idea es solo en un caso explicitar el valor absoluto inmediatamente y en el otro caso hacerlo al final).