Dispersión de pozos potenciales

Question

Dispersión de pozos potenciales

K_inverso

Considere un pozo potencial $V(x)$ dada por

\begin{aligned} V (X) = {\begin{cases} 0 & X < 0 \\ - V_{0} & 0 < X < L \\ 0 & X > L \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} V(x) = \begin{cases} 0 \qquad &x < 0 \\ -V_{0} \qquad & 0 < x < L \\ 0 \qquad &x > L \end{cases} \end{align}$ dónde

V_{0} > 0

$V_{0} > 0$ . Una partícula libre con energía.

E > 0

$E > 0$ es incidente desde la izquierda. Me pidieron que derivara el coeficiente de transmisión

T

$T$ dada por

\begin{aligned} T = [1 + \frac{V_{0}^{2}}{4 mi (mi + V_{0})} {pecado}^{2} (\frac{L}{ℏ} \sqrt{2 metro (mi + V_{0})})]^{- 1} \end{aligned}

$\begin{align} T = \Bigg[ 1 + \frac{V_{0}^{2}}{4E(E+V_{0})} \sin^{2} \Bigg( \frac{L}{\hbar} \sqrt{2m(E+V_{0})} \Bigg) \Bigg]^{-1} \end{align}$ y puedo deducirlo.

Mi pregunta es que cuando el pozo de potencial tiene una profundidad muy grande (es decir, $V_{0} \to \infty$ ), tenemos $T \to 0$ de la expresión anterior. Parece muy poco trivial porque el pozo de potencial debería atraer a la partícula con mucha fuerza cuando $V_{0} \to \infty$ . ¿Hay alguna explicación física de tal comportamiento de $T$ ?

Valerio

Por qué dices eso

lim_{V_{0} \to \infty} T = 0

$\lim_{V_0 \to \infty} T = 0$ ?

jerbo sammy

¿ Posible duplicado de Transparencia de un pozo cuadrado infinito?

K_inverso

Porque en general

V_{0}

$V_{0}$ , el coeficiente delante de

\sin^{2}

$\sin^2$ es de orden

V_{0}

$V_{0}$ y

\sin^{2}

$\sin^2$ está ligado. Por lo tanto, toda la expresión tiende a cero.

Respuestas (1)

Dispersión de pozos potenciales

¿ Posible duplicado de Transparencia de un pozo cuadrado infinito?
Porque en general $V_{0}$ , el coeficiente delante de $\sin^2$ es de orden $V_{0}$ y $\sin^2$ está ligado. Por lo tanto, toda la expresión tiende a cero.

Valerio · Answer 1

En realidad, es fácil ver que $T=1$ cuando sea

\frac{L}{ℏ} \sqrt{2 metro (mi + V_{0})} = norte π norte \in norte

$\frac{L}{\hbar} \sqrt{2m(E+V_0)}=n \pi \ \ \ n \in \mathbb N$

Puedes ver una representación de $T(V_0)$ abajo, con $E=1$ y $L \sqrt{2m}/\hbar=1$ (es solo para tener una representación cualitativa para que no nos importen las unidades).

Una cosa interesante es que las energías correspondientes a la transmisión completa son

{mi}_{norte} + V_{0} = \frac{(norte π ℏ)^{2}}{2 metro L^{2}} norte \in norte

$E_n +V_0= \frac{(n \pi \hbar)^2}{2 m L^2} \ \ \ n \in \mathbb N$

que son exactamente iguales a las energías correspondientes a los estados ligados del pozo cuadrado infinito.

Citando a RW Robinett, Quantum Mechanics , capítulo 11:

Este efecto se entiende fácilmente en términos ondulatorios debido a la interferencia destructiva completa entre las ondas dispersadas en el primer "paso" (para el que hay un cambio de fase en la reflexión) y el segundo (para el que no hay cambio de fase)

Actualizar

Lo cierto es que el valor medio de $T$ calculado en el intervalo $[0, V]$ disminuye con la longitud del intervalo $V$ . Esto se puede ver evaluando numéricamente

\bar{T} (V) = \frac{1}{V} \int_{0}^{V} T (V_{0}) d V_{0}

$\bar T (V) = \frac 1 V \int_0^V T(V_0) d V_0$

Es evidente que

\underset{V \to \infty}{límite} \bar{T} (V) = \underset{V \to \infty}{límite} \frac{1}{V} \int_{0}^{V} T (V_{0}) d V_{0} = 0

$\lim_{V \to \infty} \bar T (V)= \lim_{V \to \infty} \frac 1 V \int_0^V T(V_0) d V_0 = 0$

ya que el área de los picos es siempre más o menos igual pero la distancia entre ellos aumenta proporcionalmente a $n$ .

Sobre la razón física de este efecto, no estoy del todo seguro, pero todo se reduce a una interferencia destructiva entre las ondas dispersas en los dos "pasos" del potencial.

PD: Esta aplicación es genial.

¡¡Oh muchas gracias!! Por cierto, me recuerda algo en EM clásico, la reflexión interna total frustrada aunque no es exactamente lo mismo desde $\psi(x)$ en $0 < x < L$ no es una onda evanescente.
@QMM De nada. Sí, de hecho existe una fuerte analogía entre los dos fenómenos.

Dispersión de pozos potenciales

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Valerio

jerbo sammy

K_inverso

Respuestas (1)

Valerio

K_inverso

Valerio

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