Dispersión de barrera potencial cuando la energía de la partícula es igual a la altura de la barrera

Question

Dispersión de barrera potencial cuando la energía de la partícula es igual a la altura de la barrera

M.Zeng

¿Qué pasa si tenemos $E=V$ , dónde $E$ es la energía de una partícula entrante y $V$ Cuál es la altura de una barrera de potencial cuadrada? Esta página wiki en realidad da una probabilidad de transmisión finita para este caso. Pero, ¿cómo se ve la función de onda en la región de la barrera?

Editar:

Me acabo de dar cuenta de que el caso de la barrera potencial se puede resolver fácilmente y se puede calcular la transmisión para que sea la dada en wiki. Sin embargo, las cosas son ligeramente diferentes si tenemos un potencial de paso en el origen en lugar de una barrera cuadrada. Aunque un potencial de paso es solo una barrera cuadrada con un ancho infinito, vemos la situación por separado.

Si observamos la ecuación de Schroedinger para la región de la barrera, que va de 0 a $\infty$ , entonces nosotros tenemos

ψ^{″} (X) = 0

$\psi''(x)=0$ lo que significa

ψ (x) = a x + b

$\psi(x)=ax+b$ , dónde

a

$a$ y

b

$b$ son constantes indeterminadas. Suponga que para la región sin barrera, la función de onda está dada por

e^{i k x} + r e^{- i k x}

$e^{ikx}+re^{-ikx}$ , dónde

r

$r$ es el coeficiente de reflexión. Entonces, después de igualar las condiciones de contorno, tenemos

1 + r = b

$1+r=b$ y

1 - r = - i a / k

$1-r=-ia/k$ .

Si requerimos que la función de onda no explote en el lado potencial, entonces debemos tener $a=0$ y en consecuencia tenemos $r=1$ y $b=2$ , lo que significa que aunque todo se refleje, la función de onda en la región potencial es una función constante distinta de cero.

Entonces, ¿cómo explicar esta peculiaridad? ¿Se debe a que la transmisión no está necesariamente relacionada con la densidad de probabilidad?

usuario74893

Hola, ¿has intentado poner los números y dejar E = V en la ecuación de dispersión? Estaría genuinamente interesado en el resultado... probablemente como tú lo he estudiado donde E <V y lo contrario, pero nunca como dices en tu post saludos

M.Zeng

@irishphysics, gracias por recordarme esto, consulte la versión editada de la pregunta.

Respuestas (2)

Dispersión de barrera potencial cuando la energía de la partícula es igual a la altura de la barrera

Hola, ¿has intentado poner los números y dejar E = V en la ecuación de dispersión? Estaría genuinamente interesado en el resultado... probablemente como tú lo he estudiado donde E <V y lo contrario, pero nunca como dices en tu post saludos
@irishphysics, gracias por recordarme esto, consulte la versión editada de la pregunta.

Pooya · Answer 1

Como habrás adivinado, la densidad de probabilidad no es lo mismo que la transmisión. Para tener una transmisión distinta de cero, tiene que haber un gradiente distinto de cero:

j = \frac{1}{2 metro} (ψ^{†} \hat{pag} ψ - ψ \hat{pag} ψ^{†})

$j=\frac{1}{2m}(\psi^\dagger \hat{p}\psi - \psi \hat{p}\psi^\dagger)$

En el caso de una probabilidad constante, no hay gradiente. Solo tienes "acumulación" de partículas. La razón de esto es que está resolviendo la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, que da las soluciones de estado estacionario. Esto significa que el sistema ha tenido mucho tiempo para estabilizarse y alcanzar un estado estable. Dado que el tiempo es tan largo (esencialmente infinito), la partícula acumulada es realmente grande (integral de probabilidad de cero a + infinito). Si E fuera menor que V, esta acumulación estaría limitada a las regiones cercanas a x=0 y tendría una forma exponencial negativa (también conocida como la parte evanescente), pero E=V es un caso límite.

Si hubiera resuelto la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo (TDSE), observaría las formas de acumulación gradualmente en el tiempo. Específicamente, suponga una fuente de partículas en $-\infty$ (lo que hace de este un sistema abierto), proporcionando un flujo constante de partículas a energía fija $E=k^2/2m$ y una barrera potencial $V(x)=V_0 u(x)$ , dónde $u(x)$ es la función de paso. Comience a resolver el TDSE con una condición inicial en $t=0$ de $\psi(t=0,x)=\exp(ikx)u(-x)$ , que es una aproximación aproximada de la forma de la función de onda justo antes de que golpee la barrera de potencial.

No entiendo muy bien la conexión entre la dependencia del tiempo y la acumulación de partículas. Si se agrega la dependencia del tiempo, la única diferencia es que todos los coeficientes que he resuelto obtendrán un factor de fase unitario. ¿Cómo indica el factor de fase la acumulación?
Edité un poco mi publicación. Puede ver que mi condición inicial propuesta no es un estado propio, por lo tanto, no puede asociarse con un factor de una sola fase. Además, el sistema del ejemplo es un sistema abierto, debido a la fuente en $-\infty$ .

Marcos J. Hagmann · Answer 2

He visto referencias que relacionan la "barrera de potencial cuadrada" con el caso del espacio entre dos superficies metálicas, pero esto es incorrecto. La barrera de potencial cuadrada requeriría un campo eléctrico infinito en ambos extremos sin campo en ningún otro lugar. Este modelo se usa con frecuencia pero no veo ninguna aplicación práctica.

Esto no proporciona una respuesta a la pregunta. Una vez que tenga suficiente reputación, podrá comentar cualquier publicación ; en su lugar, proporcione respuestas que no requieran aclaración por parte del autor de la pregunta . - De la revisión

Dispersión de barrera potencial cuando la energía de la partícula es igual a la altura de la barrera

M.Zeng

usuario74893

M.Zeng

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Pooya

M.Zeng

Pooya

Marcos J. Hagmann

Michael Seifert

Electrón viajando a través de un potencial de paso de V0V0V_0 a 0

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