Vector potencial AAA en un S2S2S ^ 2 de 2 esferas de radio RRR con algunos puntos eliminados

Este potencial vectorial se puede escribir en todos los puntos del plano excepto en el origen como:

$$A_x = -\frac{\partial \psi}{\partial y}$$

$$A_y = \frac{\partial \psi}{\partial x}$$

con

$$\psi = \frac{1}{2}\mathrm{log}(x^2+y^2)$$

$A$no es exacto, porque$\psi$es singular en el origen. Pero esto significa que el campo magnético es cero en todos los puntos excepto en el origen. En el origen mismo, el campo magnético debe ser infinito, porque el flujo a través de un pequeño bucle arbitrario no se desvanece:

$$\Phi = \int A = \int_0^{2\pi} d\phi = 2 \pi$$

Tal campo magnético puede ser generado por un solenoide infinito cuyo radio se reduce a cero mientras se mantiene constante el flujo.

En la terminología hidrodinámica, la función$\psi$se llama función de corriente, satisface la ecuación de Laplace (función armónica) excepto en el origen. Esta función de flujo específica describe un vórtice (el vector potencial describe el campo de velocidad del vórtice). Las líneas de corriente de este campo de velocidad son círculos alrededor del origen y su magnitud es inversamente proporcional al radio.

Para ver que la función de corriente es armónica excepto en la singularidad, y generalizar la construcción al caso de la esfera, podemos usar coordenadas complejas en el plano:

$$z = x+iy$$

En esta representación tenemos:

$$\psi = \frac{1}{2}\mathrm{log}(\bar{z}z)$$

Aplicando el operador de Laplace, obtenemos

$$\nabla^2 \psi=\partial_{\bar{z}} \partial_z \psi = \delta^2_L(z)$$

Donde hemos usado

$$\frac{\partial}{\partial \bar{z}}\frac{1}{z} = \delta^{(2)}_L(z)$$

es la coordenada compleja en el plano.$\delta^{(2)}_L$es la función delta de Dirac bidimensional con respecto a la medida de Lebesgue. es decir,

$$\int_{\mathbb{C}} f(z) \delta^{(2)}_L(z-z_0) \mathrm{dRe}(z) \mathrm{dIm}(z) = f(z_0)$$

El vector potencial en la representación compleja tiene la forma:

$$A_z = \frac{1}{i}\frac{\partial \psi}{\partial \bar{z}}$$

$$A_{\bar{z}}= -\frac{1}{i}\frac{\partial \psi}{\partial z}$$

Explícitamente:

$$A = \frac{1}{2i}\frac{zd\bar{z}-\bar{z}dz}{\bar{z}z}$$

Este hecho describe otra interpretación física de este vector potencial de la siguiente manera:

En dos dimensiones, una función que satisface la ecuación de Laplace (función armónica) (excepto en las singularidades de los puntos) califica como una función de corriente cuyo gradiente anti-simetrizado (que es el vector potencial en nuestro problema) describe el campo de velocidad de un vórtice. Tenga en cuenta que este campo de velocidad es invariable bajo rotaciones alrededor del origen y su magnitud es inversamente proporcional a la distancia desde el origen. En esta interpretación, la integral de línea del vector potencial es la vorticidad.

Podemos cambiar la ubicación de la singularidad (línea de flujo) a cualquier otro punto en el plano, digamos$(x_0, y_0)$

$$A = \frac{(x-x_0)dy - (y-y_0)dx}{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} = \frac{1}{2i}\frac{(z-z_0)d\bar{z}-(\bar{z}- \bar{z_0})dz}{(\bar{z}- \bar{z_0})(z-z_0)}$$

En este caso, no es difícil verificar que este vector potencial se puede derivar de la función de flujo:

$$\psi = \frac{1}{2}\mathrm{log}((\bar{z}-\bar{z}_0)(z-z_0)) \equiv \mathrm{log}(|z-z_0|)$$

Podemos agregar varias funciones de corriente centradas en varios puntos del plano con diferentes vorticidades para obtener una solución general que represente los flujos en estos puntos:

$$\psi = \sum_k \Gamma_k \mathrm{log}(|z-z_k|)$$

El constante$\Gamma_k$expresa los flujos alrededor del$k$-ésimo centro (o la vorticidad en la terminología hidrodinámica).

Uno puede verificar fácilmente que el potencial de un solo vector centrado (y también la función de flujo correspondiente) son invariantes bajo los automorfismos de conservación métrica del plano que consisten en traslaciones y rotaciones: (que se puede escribir de forma compacta en las notaciones complejas como:)

$$z \rightarrow e^{i\alpha} z + v$$

$$z_0 \rightarrow e^{i\alpha} z_0 + v$$

A partir de la expresión de la función de corriente de un solo centro, se observa que el denominador es la distancia geodésica en el plano, por lo que es una generalización candidata a la esfera ($S^2$) sería la sustitución de esta por la distancia geodésica sobre la esfera:

$$|z-z_0|^2 \rightarrow \frac{|z-z_0|^2}{(1+\bar{z}z)(1+\bar{z}_0z_0)}$$

Dónde$z$es la coordenada de proyección estereográfica sobre la esfera:

$$z = \mathrm{tan}{\frac{\theta}{2}}e^{i \phi}$$

($\theta$y$\phi$son las coordenadas de la superficie esférica).

Por lo tanto, la solución candidata en la esfera es:

$$\psi= \mathrm{log}(|z-z_0| - \frac{1}{2} \mathrm{log} (1+\bar{z}z)- \frac{1}{2} \mathrm{log} (1+\bar{z}_0z_0) )$$

Esta solución es invariante bajo los automorfismos de la esfera que conservan la métrica:

$$z\rightarrow \frac{\alpha z + \beta}{-\bar{\beta} z +\bar{\alpha} }$$ ,

con$|\alpha|^2+|\beta|^2 = 1$

La matriz:

$$\begin{pmatrix} \alpha & \beta\\ -\bar{\beta}&\bar{\alpha}& \end{pmatrix} \in SU(2)$$

que es el grupo de automorfismos de la métrica redonda

Así, el vector potencial candidato correspondiente a esta solución se obtiene aplicando el operador gradiente en las coordenadas curvilíneas de la esfera:

$$A_z = \frac{1}{i}(1+\bar{z}z)^2 \frac{\partial \psi}{\partial \bar{z}}$$

$$A_{\bar{z}}= -\frac{1}{i}(1+\bar{z}z)^2 \frac{\partial \psi}{\partial z}$$

Explícitamente

$$A = \frac{1}{2i} (1+\bar{z}z) (1+\bar{z}_0z_0) \frac{(z-z_0)(1+\bar{z}_0 z)d\bar{z}-(\bar{z}- \bar{z_0}) (1+\bar{z}_0 z) dz}{(\bar{z}- \bar{z_0})(z-z_0)}$$

El laplaciano sobre la esfera viene dado por:

$$\nabla^2 = (1+\bar{z}z)^2 \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial}{\partial\bar{z}}$$

Aplicando el operador laplaciano a la función de flujo candidato, obtenemos:

$$\nabla^2 \psi= (1+\bar{z}z)^2 \delta^{(2)}_L(z-z_0) +1 = \delta^{(2)}_S(z-z_0) +1$$

Dónde$\delta^{(2)}_S$es la función delta de Dirac correspondiente a la medida esférica:

$$\int_{\mathbb{S^2}} f(z) \delta^{(2)}_S(z-z_0) \frac{ \mathrm{dRe}(z) \mathrm{dIm}(z) }{ (1+\bar{z}z) ^2}= f(z_0)$$

El término constante adicional en el laplaciano constituye un problema porque significa que esta función de corriente no es armónica fuera de las singularidades. La solución a este problema en la esfera es sumar varias soluciones con un flujo total nulo (vorticidad).

$$\sum_k \Gamma_k = 0$$

En este caso se cancelarán las aportaciones constantes de todos los centros.