Teorema de la divergencia, ¿aproximación matemática a la Ley de Gauss?

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Teorema de la divergencia, ¿aproximación matemática a la Ley de Gauss?

usuario81012

Dejar $D$ Sea una región compacta en $\mathbb{R}^3$ con un límite suave $S$ . Asumir $0 \in \text{Int}(D)$ . Si una carga eléctrica de magnitud $q$ se coloca en $0$ , el campo de fuerza resultante es $q\vec{r}/r^3$ , dónde $\vec{r}(x)$ es el vector a un punto $x$ de $0$ y $r(x)$ es su magnitud. Demuestre que la cantidad de carga $q$ se puede determinar a partir de la fuerza en el límite demostrando la ley de Gauss:

\int_{S} \vec{F} \cdot \vec{norte} d A = 4 π q .

$\int_S \vec{F} \cdot \vec{n}\,dA = 4\pi q.$

Estoy familiarizado con el enfoque en los libros de texto básicos, pero me interesaría ver una derivación/prueba usando el lenguaje de la topología diferencial.

yuggib

Siempre que "topología diferencial" no sea un término matemático estándar hasta donde yo sé, debería echar un vistazo al teorema de Stokes para formas diferenciales. Una vez que lo entienda, la prueba es sencilla a partir de la

\nabla \cdot E = ϱ

$\nabla\cdot E=\varrho$ de las ecuaciones de Maxwell.

danu

@yuggib, de hecho , es un término estándar (ver, por ejemplo, el libro Topología de Milnor desde el punto de vista diferenciable ) y sí, el teorema de Stokes es la forma correcta de verlo si uno quiere ser elegante :)

danu

La página de Wikipedia sobre el teorema de Stokes tiene una breve explicación en la sección "casos especiales"

yuggib

@Danu Ok, ya veo... es una terminología utilizada como topología de funciones en variedades diferenciables. Sin embargo, no es la mejor opción semántica (en mi opinión), ya que parece que "diferencias topologías" en algún sentido. De todos modos, solo es una cuestión de gusto personal ;-) En cuanto a la fantasía matemática, parece exactamente lo que preguntó el OP ...

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/104693/2451

una mente curiosa

Como dijo Danu, el punto de vista de la forma diferencial viene dado por el teorema de Stokes . Sin embargo, probar el teorema de Stokes no es una cuestión de física.

Respuestas (1)

Teorema de la divergencia, ¿aproximación matemática a la Ley de Gauss?

Siempre que "topología diferencial" no sea un término matemático estándar hasta donde yo sé, debería echar un vistazo al teorema de Stokes para formas diferenciales. Una vez que lo entienda, la prueba es sencilla a partir de la $\nabla\cdot E=\varrho$ de las ecuaciones de Maxwell.
@yuggib, de hecho , es un término estándar (ver, por ejemplo, el libro Topología de Milnor desde el punto de vista diferenciable ) y sí, el teorema de Stokes es la forma correcta de verlo si uno quiere ser elegante :)
La página de Wikipedia sobre el teorema de Stokes tiene una breve explicación en la sección "casos especiales"
@Danu Ok, ya veo... es una terminología utilizada como topología de funciones en variedades diferenciables. Sin embargo, no es la mejor opción semántica (en mi opinión), ya que parece que "diferencias topologías" en algún sentido. De todos modos, solo es una cuestión de gusto personal ;-) En cuanto a la fantasía matemática, parece exactamente lo que preguntó el OP ...
Como dijo Danu, el punto de vista de la forma diferencial viene dado por el teorema de Stokes . Sin embargo, probar el teorema de Stokes no es una cuestión de física.

usuario63931 · Answer 1

Primero, calcularemos $\text{div}\,F$ . Las derivadas parciales están dadas por

\frac{\partial F}{\partial X_{i}} = q \frac{\partial}{\partial X_{i}} (\frac{X_{i}}{r^{3}}) = q (\frac{1}{r^{3}} - \frac{3 r^{2} \frac{X_{i}}{r} X_{i}}{r^{6}}) = 0.

${{\partial F}\over{\partial x_i}} = q {\partial\over{\partial x_i}}\left({{x_i}\over{r^3}}\right) = q\left({1\over{r^3}} - {{3r^2 {{x_i}\over{r}} x_i}\over{r^6}}\right) = 0.$ De este modo,

div F = 0

$\text{div}\,F = 0$ lejos del origen. Considere ahora una pelota

B

$B$ de radio

r

$r$ centrado en el origen contenido enteramente en el interior de

D

$D$ . Entonces

\int_{B} F \cdot norte d A = q \int_{b} \frac{r}{r^{3}} d A = \frac{q}{r^{2}} \int_{B} d A = \frac{4 π r^{2} q}{r^{2}} = 4 π q .

$\int_B F \cdot \mathbf{N}\,dA = q \int_b {r\over{r^3}}\,dA = {q\over{r^2}} \int_B dA = {{4\pi r^2 q}\over{r^2}} = 4\pi q.$ Finalmente, considere la variedad

M

$M$ formado por el espacio entre

B

$B$ y

D

$D$ con aquellos como límite. Entonces, por el teorema de la divergencia,

\int_{B} F \cdot norte d A - \int_{D} F \cdot norte d A = \int_{METRO} división F d V = 0 ⟹ \int_{D} F \cdot norte d A = 4 π q .

$\int_B F \cdot \mathbf{N}\,dA - \int_D F \cdot \mathbf{N}\,dA = \int_M \text{div}\,F\,dV = 0 \implies \int_D F \cdot \mathbf{N}\,dA = 4\pi q.$

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usuario81012

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danu

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usuario63931

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