Potencial de Kähler vs potencial efectivo total

Question

Potencial de Kähler vs potencial efectivo total

Física
supersimetría
nivel de investigación
teoría cuántica de campos
superespacio-formalismo

Simón

Al evaluar la estructura de vacío de las teorías cuánticas de campos, debe encontrar los mínimos del potencial efectivo, incluidas las correcciones perturbativas y no perturbativas cuando sea posible.

En las teorías supersimétricas, a menudo se afirma que el potencial de Kähler es la cantidad adecuada de interés (ya que el superpotencial no recibe correcciones cuánticas). Para simplificar, consideremos solo el caso de un solo supercampo quiral: $\Phi(x,\theta)=\phi(x)+\theta^\alpha\psi_\alpha(x) + \theta^2 f(x)$ y su complejo conjugado. El funcional de acción de baja energía que incluye el Kähler y el superpotencial es

S [\bar{Φ}, Φ] = \int d^{8} z k (\bar{Φ}, Φ) + \int d^{6} z W (Φ) + \int d^{6} \bar{z} \bar{W} (\bar{Φ})

$S[\bar\Phi,\Phi] = \int\!\!\!\mathrm{d}^8z\;K(\bar\Phi,\Phi) + \int\!\!\!\mathrm{d}^6z\;W(\Phi) + \int\!\!\!\mathrm{d}^6\bar{z}\;\bar{W}(\bar\Phi)$ Manteniendo solo los campos escalares y sin derivados del espacio-tiempo, los componentes son

\begin{aligned} S [\bar{Φ}, Φ] |_{ef.pot.} = & \int d^{4} X (\bar{F} F \frac{\partial^{2} k (\bar{ϕ}, ϕ)}{\partial ϕ \partial \bar{ϕ}} + F W^{'} (ϕ) + \bar{F} W (ϕ)) \\ \overset{F \to F (ϕ)}{\to} - & \int d^{4} X (\frac{\partial^{2} k (\bar{ϕ}, ϕ)}{\partial ϕ \partial \bar{ϕ}})^{- 1} | W^{'} (ϕ) |^{2} =: - \int d^{4} X V (\bar{ϕ}, ϕ) \end{aligned}

$\begin{align} S[\bar\Phi,\Phi]\big|_{\text{eff.pot.}} = &\int\!\!\!\mathrm{d}^4x\Big(\bar{f}f\,\frac{\partial^2K(\bar\phi,\phi)}{\partial\phi\partial{\bar\phi}} + f\,W'(\phi) + \bar{f}\, W(\phi)\Big) \\ \xrightarrow{f\to f(\phi)} -\!&\int\!\!\!\mathrm{d}^4x\Big(\frac{\partial^2K(\bar\phi,\phi)}{\partial\phi\partial{\bar\phi}}\Big)^{-1}|W'(\phi)|^2 =: -\!\int\!\!\!\mathrm{d}^4x \ V(\bar\phi,\phi) \end{align}$ donde en la segunda línea resolvemos las (simples) ecuaciones de movimiento para el campo auxiliar. Los vacíos son entonces el mínimo del potencial efectivo

V (\bar{ϕ}, ϕ)

$V(\bar\phi,\phi)$ .

Sin embargo , si lee la literatura antigua ( hasta mediados de los 80 ) sobre supersimetría, calculan el potencial efectivo usando todos los escalares en la teoría, es decir, el potencial efectivo de tipo Coleman-Weinberg usando los campos de fondo/externos $\Phi(x,\theta)=\phi(x) + \theta^2 f(x)$ . Esto conduce a un potencial efectivo $U(\bar\phi,\phi,\bar{f},f)$ que es más que cuadrático en los campos auxiliares, por lo que claramente no es equivalente a calcular solo el potencial de Kähler. El objeto de supercampo equivalente es el potencial de Kähler + potencial de campos auxiliares , como se define en " Potencial efectivo supersimétrico: enfoque de supercampo " (o aquí ). Se puede escribir como

S [\bar{Φ}, Φ] = \int d^{8} z (k (\bar{Φ}, Φ) + F (\bar{Φ}, Φ, D^{2} Φ, {\bar{D}}^{2} \bar{Φ})) + \int d^{6} z W (Φ) + \int d^{6} \bar{z} \bar{W} (\bar{Φ})

$S[\bar\Phi,\Phi] = \int\!\!\!\mathrm{d}^8z\;\big(K(\bar\Phi,\Phi) + F(\bar\Phi,\Phi,D^2\Phi,\bar{D}^2\bar{\Phi})\big) + \int\!\!\!\mathrm{d}^6z\;W(\Phi) + \int\!\!\!\mathrm{d}^6\bar{z}\;\bar{W}(\bar\Phi)$ dónde

F (\bar{Φ}, Φ, D^{2} Φ, {\bar{D}}^{2} \bar{Φ})

$F(\bar\Phi,\Phi,D^2\Phi,\bar{D}^2\bar{\Phi})$ es al menos cúbico en

D^{2} Φ, {\bar{D}}^{2} \bar{Φ}

$D^2\Phi,\bar{D}^2\bar{\Phi}$ . La proyección a componentes escalares de baja energía de lo anterior da el potencial efectivo

U (\bar{ϕ}, ϕ, \bar{f}, f)

$U(\bar\phi,\phi,\bar{f},f)$ eso es en general no polinomial en los campos auxiliares y claramente más difícil de calcular y trabajar que el resultado cuadrático dado anteriormente.

Entonces, mi pregunta es : ¿cuándo sucedió este cambio para calcular solo el potencial de Kähler y hay una buena razón por la que puede ignorar las correcciones de orden superior en los campos auxiliares?

Respuestas (2)

Potencial de Kähler vs potencial efectivo total

Zohar Ko · Answer 1

De hecho, su pregunta no tiene nada que ver con la distinción entre 1PI y wilsoniano. La respuesta es que los términos que contienen una dependencia no trivial de $D^2\Phi$ se eliminarán si la ruptura de la supersimetría es pequeña en comparación con la escala de masa natural ("supersimétrica") del problema. Puede ver esto observando que el potencial efectivo tiene que ser de la forma $f^2 F(f/M^2)$ dónde $f$ es la escala de ruptura SUSY y $M$ es una escala supersimétrica (que también puede ser el VEV de algún módulo). Otra forma de ver esto es que términos con más poderes de $D^2\Phi$ tienen una dimensión de ingeniería más alta y, por lo tanto, deben dividirse por alguna escala SUSY, por lo que su efecto desaparece como f / M ^ 2-> 0.

En algunos escenarios físicos, estas correcciones pueden ser importantes, pero dado que en los modelos dinámicos, tener un control riguroso sobre la física generalmente implica tener la ruptura de SUSY como un efecto pequeño, en la mayoría de la literatura estos términos se descartan.

¡Gracias Zohar, todo eso suena bastante razonable! ¿Conoces la referencia de dónde se aplicó por primera vez este tipo de razonamiento? ¿O una referencia canónica para esto?
Este razonamiento es probablemente tan antiguo como darse cuenta de que SUSY se puede romper. En lugar de remitirte a cálculos arcanos de hace tres décadas, te recomiendo que eches un vistazo al apéndice A.5. de hep-th/0602239. Estudian la acción efectiva debida a algunos campos masivos que están integrados y muestran que al orden principal (es decir, $|f|^2$ ) el potencial efectivo se puede empaquetar ordenadamente en un potencial de K\"ahler. También enfatizan la existencia de correcciones de orden superior (orden superior en $f$ ), que no son capturados por el potencial efectivo de K\"ahler.
Si también está interesado en volver sobre los pasos de este cálculo, debería echar un vistazo a hep-th/9605149...
Bienvenido Zohar, y gracias por tu contribución. Espero que con el tiempo este se convierta en un lugar realmente útil para nuestra comunidad, así que me alegro cada vez que veo una cara familiar...
Zohar: El hecho de que el orden principal eff pot en $|f|^2$ puede empaquetarse en un potencial de Kähler parece un poco trivial. Pero estoy de acuerdo con usted y con ISS en que, para un pequeño susy, probablemente sea suficiente. Creo que, cuando se combina con dificultades de cálculo, esto motiva la práctica común de ignorar todo el potencial efectivo.
Si las correcciones en $f^2$ debe ignorarse depende del modelo y el mero hecho de que pueden ser más difíciles de calcular no justifica por sí mismo ignorarlos (y, por cierto, en un ciclo nada es difícil, ni siquiera hacer estas correcciones correctamente)

David Bar Moshé · Answer 2

Hay dos tipos de acciones efectivas, la irreducible de una partícula (1PI) (Coleman-Weinberg) y la wilsoniana.

Las variables en el 1PI son las condensaciones de vacío de los campos, es decir, es "clásico". En principio, se calcula realizando la integral de trayectoria con las fuentes y luego reemplazando las fuentes por los condensados de vacío a través de una transformada de Legendre. Esta acción incluye todas las correcciones cuánticas de la teoría y su término potencial determina su vacío. Esta acción no necesita ser local. En la práctica, esta acción puede calcularse sólo de forma aproximada mediante la expansión del bucle, y su expansión sufre de divergencias IR en el caso de campos sin masa.

El segundo tipo de acción efectiva es la acción efectiva wilsoniana donde se integran los modos de energía más allá de una escala dada. Las variables básicas aquí son los modos de baja energía de los campos. Esta acción es de mecánica cuántica en el sentido de que no incluye las correcciones radiativas de los modos de baja energía y aun así se debe realizar la integral de trayectoria sobre ellos. Esta acción es local y no sufre divergencias en el IR, por lo que se utiliza en cálculos de ruptura de supersimetría. Consulte la siguiente reseña de Tanedo (y sus referencias) que describe la distinción entre los dos tipos de acciones efectivas en el contexto de la supersimetría.

Ahora, con respecto al cálculo en el primer párrafo de la pregunta, si se usa el potencial de Kahler "a nivel de árbol", es solo un cálculo del potencial escalar del árbol.

Gracias David, pero no estoy seguro de cómo las acciones efectivas de 1PI vs Wilsonian abordan mi pregunta. Podría, pero no es obvio... Incluso los cálculos de bucle ahora parecen centrarse únicamente en el potencial de Kähler y afirman que es el análogo SUSY del potencial efectivo de Coleman-Weinberg o que "el potencial de Kähler, el superpotencial y la función cinética de calibre" codifique toda la información sobre la acción efectiva de baja energía . (Por una extraña coincidencia, descargué la reseña de "Seibergology" de Flip anoche. ¡Aún no la he leído toda!)
@David, no pude encontrar su tesis ''Cuantización geométrica en sistemas Kählerianos'' en línea. ¿Podría por favor enviarme una copia?
@Arnold Neumaier. Muchas gracias por el interés. Actualmente no tengo una copia electrónica. Entonces, estaba muy concentrado en mi trabajo y no me importaba mucho aprender Latex o cualquier otra cosa relacionada con las computadoras. Entonces, aunque la tesis fue escrita en Latex por un amigo, inserté las ecuaciones manualmente. Tengo una copia impresa que puedo escanear y enviar. Por favor, dame algo de tiempo para ver qué puedo hacer.
(cont.) El tema principal de la tesis es la explotación de la geometría de Kaehler de órbitas coadjuntas de grupos de Lie semisimples. Mi difunto supervisor de doctorado Estimado prof. Michael Marinov logró que se publicara parte del trabajo mutuo incluido en la tesis, pero la tesis incluye más trabajo inédito. Nuevamente, gracias por el interés y veré qué puedo hacer.
Gracias. Una copia escaneada está bien. -- Sabía el título de su tesis de estos documentos con Marinov. Estoy interesado en el caso no compacto, para el cual se refirió a la tesis.

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