¿Potencial de hexadecapolo usando partículas puntuales?

Por lo general, me resulta más fácil usar multipolos modelo que son cargas superficiales en una esfera, en lugar de cargas puntuales en los vértices de algún poliedro. Estas densidades de carga vienen dadas en general por

Así, un monopolo es constante, un dipolo tiene$\sigma=\cos(\theta)=z/r$, un cuadrupolo tiene la forma$\sigma=\cos(\phi)\cos(\theta)\sin(\theta)=xz/r^2$o$\sigma=3\cos^2(\theta)-1=\frac{2z^2-x^2-y^2}{r^2}$, y así. Esto tiene dos ventajas importantes:

• el campo producido por estas densidades de carga superficial tiene multipolaridad pura , a diferencia de las combinaciones multipolares de carga puntual, que siempre tienen correcciones de subdirección. Aún mejor, esto sucede fuera de la esfera (dando un multipolo de campo lejano) y dentro de ella (dando un multipolo de campo cercano).
• El "y así sucesivamente" en realidad se mantiene. Para cualquier$l, m$combinación, simplemente conecte los índices y vea cómo se ve la densidad de carga. Aún mejor, esto cubre todas las posibles configuraciones multipolares (mientras que el juego punto-línea-cuadrado-cubo pierde una importante configuración de cuadrupolo, dada por dmckee en los comentarios, y una serie de octupolos diferentes).
• Como bono adicional, la densidad de carga es siempre un polinomio homogéneo en las coordenadas cartesianas$x,y,z$.

Por todo eso, déjame abordar tu pregunta: ¿cómo son los hexadecápolos? Aquí$l=4$, por lo que tienes cinco configuraciones diferentes, para$m$de$0$mediante$4$. En ese orden, quedan de la siguiente manera:

• $m=0$,$\sigma \propto \left(3(x^2+y^2)^2-24(x^2+y^2)z^2+8z^4\right)/r^4$

  

  (que puedes emular con cinco cargas de las magnitudes apropiadas en una línea),

• $m=1$,$\sigma \propto xz\left(3(x^2+y^2)-4z^2\right)/r^4$

  

  (que puedes emular con dos líneas de cuatro cargas),

• $m=2$,$\sigma \propto (x^2-y^2)(x^2+y^2-6z^2)/r^4$

  

  (que puedes emular con tres cuadrados coplanares),

• $m=3$,$\sigma \propto \operatorname{Re}\left[(x+iy)^3z\right]/r^4$

  

  (que puedes emular con dos hexágonos con cargas alternas), y

• $m=4$,$\sigma \propto \operatorname{Re}\left[(x+iy)^4\right]/r^4$

  

  (que puedes emular con un octágono).

Para fines de dibujo, por lo general es suficiente saber que$l$le dice cuántas líneas nodales puede tener la densidad de carga (¡compruebe arriba!). El índice de configuración$m$luego le dice cuántos de ellos pasarán por el polo norte, y el resto serán "paralelos" juiciosamente espaciados. Si insiste en usar cargas de un solo punto, coloque cargas alternas de magnitudes apropiadas en cada región, y la contribución multipolar líder será del orden$l$.

^{El código de Mathematica utilizado para producir las imágenes en esta respuesta está disponible a través de Import["http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m"]["http://i.stack.imgur.com/FGaRk.png"].}

Monopolo = carga puntual; el potencial cae como 1/r.

X

Dipolo: duplica la carga puntual y hazla de signo contrario. Separe las dos cargas por una pequeña distancia. El potencial cae como 1/r^2 al orden principal.

XO

Cuadrupolo: duplica el dipolo e invierte los signos en el duplicado. Separe los dos dipolos por una pequeña distancia. (Esto podría tener una configuración cuadrada, pero no tiene por qué serlo; los dos dipolos pueden estar separados por una pequeña distancia en cualquier dirección. Podrían, por ejemplo, ser colineales, como lo señaló dmckee). El potencial cae apagado como 1/r^3 al orden principal.

XO

BUEY

-o-

X OO X

Octupolo: duplica el cuadrupolo e invierte los signos en el duplicado. Separe los dos cuadrupolos por una pequeña distancia. (Un cubo es un ejemplo, pero la configuración no tiene que ser un cubo. Hay configuraciones colineales y coplanares que funcionarán igual de bien). El potencial cae como 1/r^4 al orden principal.

buey

BUEY XO

-o-

XO OXOX XO

-o-

(el cubo que mencionaste)

(etc.)

Hexadecapolo: duplica el octupolo e invierte los signos en el duplicado. Separe los dos octupolos por una pequeña distancia. El potencial cae como 1/r^5 al orden principal.

etc.