¿Cuál es el significado físico de los términos en la expansión multipolar?

Para la pregunta 2: ("¿Por qué una sola carga alejada del origen tiene un término dipolar?")

Digamos que tienes una carga de +3 en el punto (5,6,7). Usando el principio de superposición, puedes imaginar que esta es la superposición de dos distribuciones de carga

• Distribución de carga A: Una carga de +3 en el punto (0,0,0)

• Distribución de carga B: Una carga de -3 en el punto (0,0,0) y una carga de +3 en (5,6,7).

Obviamente, cuando los sumas, obtienes la distribución de carga real:

$$(\text{real charge distribution}) = (\text{charge distribution A}) + (\text{charge distribution B}).$$

Por el principio de superposición:

$$(\text{Real }\mathbf E\text{ field}) = (\mathbf E\text{ field of charge distribution A}) + (\mathbf E\text{ field of charge distribution B}).$$

Y, dado que la expansión multipolar también obedece al principio de superposición:

$$\begin{align} (\text{real monopole term}) & = (\text{monopole term of distribution A}) + (\text{monopole term of distribution B}),\\ (\text{real dipole term}) & = (\text{dipole term of distribution A}) + (\text{dipole term of distribution B}),\\ (\text{real quadrupole term}) & = (\text{quadrupole term of distribution A}) + (\text{quadrupole term of distribution B}), \end{align}$$ etcétera.

El campo de distribución de carga A es un campo monopolar puro, mientras que el campo de distribución de carga B no tiene término monopolar, solo dipolo, cuadrupolo, etc. Por lo tanto,

$$\begin{align} (\text{real monopole term}) & = (\text{monopole term of distribution A}), \\ (\text{real dipole term}) & = (\text{dipole term of distribution B}),\\ (\text{real quadrupole term}) & = (\text{quadrupole term of distribution B}), \end{align}$$ etcétera.

Aunque no es intuitivo que la distribución de carga real tenga una componente dipolar, no sorprende en absoluto que la distribución de carga B tenga una componente dipolar: ¡son dos cargas separadas iguales y opuestas! Y la distribución de carga B es exactamente lo que obtienes después de restar el componente monopolar para observar los términos sublíderes de la expansión.

Para comprender el significado de la expansión multipolar, primero debemos preguntarnos sobre la evaluación del potencial de una distribución de carga muy aleatoria. Recuerde que, si se olvida de la expansión multipolar, no tiene ningún dispositivo simple para conocer el potencial de una carga aleatoria. distribución, o quiere potencial cerca de la distribución o muy lejos.

En nuestros cursos básicos de electrostática, generalmente se nos enseña cómo evaluar el potencial de alguna distribución de carga simétrica, por ejemplo, el potencial para distribuciones que son esférica y cilíndricamente simétricas, y en la mayoría de los casos difíciles, la distribución sería de algún parámetro de ángulos polares o distancias radiales.

Ahora, la segunda cosa que uno siempre ignora (y por eso se quedó atrapado en la confusión sobre la intuición) durante el estudio de las expansiones multipolares es que el dipolo no tiene nada que ver con un par de carga positiva y negativa, o un octupolo no tiene nada que ver. hacemos con un grupo de 4 cargas positivas y 4 negativas. Allí, la distribución de carga solo se ocupa de la variación de potencial,

1. ¿Hay un significado intuitivo de cada uno de estos términos? Por ejemplo, puedo dar sentido al término monopolo de la siguiente manera: en la primera aproximación, la distribución de carga se verá como una carga puntual ubicada en el origen, lo que matemáticamente corresponde a lo que se llama un término monopolo, que no es más que$Q/r$. ¿Es esto correcto?

En primer lugar, la nomenclatura es bastante desafortunada (va como$2^n$, es decir$2^2=\text{quadrupole}$) y puede ser engañoso. Matemáticamente, el término monopolo es el polinomio de Legendre de orden cero ($L_0(x)=1$,$L_1(x)=x$,$L_2(x)=(3x^2-1)/2$) y así sucesivamente (hasta una normalización).

Físicamente hablando, el primer término nos dice algo sobre la simetría del sistema dependiendo de la ubicación del observador. Supongamos que el potencial en un punto A del sistema de cargas solo tiene una estructura de monopolo, esto significa que la distribución de carga tiene invariancia espacial completa. Más importante aún, el primer término te dice que si queremos la energía total del sistema, solo debemos preocuparnos por el potencial en A porque el monopolo solo se acopla al potencial eléctrico.

2. Ahora, ¿cuál es el significado del término dipolo? Sé que la palabra dipolo proviene de tener 2 cargas opuestas, y el potencial debido a esa configuración, si las cargas están alineadas simétricamente a lo largo del eje z, digamos, es como$\cos\theta/r^2$. Pero de la expansión multipolar hay un término dipolo distinto de cero incluso en el caso de una sola carga que se encuentra a cierta distancia del origen, digamos. ¿Por qué se llama término dipolar entonces? ¿Hay alguna manera de darle sentido a este término de la misma manera que le di sentido al término monopolo?

El término dipolar es el polinomio de Legendre de primer orden ($2^1=\text{dipole}$). Es posible tener términos de orden superior incluso cuando el cargo neto es cero. Esto significa que la energía del sistema depende de la interacción del momento dipolar con el campo eléctrico de la carga de prueba.$\vec{d} \cdot\vec{E}$los acoplamientos se estudian en interacciones luz-materia. Otro punto interesante a tener en cuenta es que surge algún tipo de ruptura de la simetría espacial porque las interacciones dipolares pueden configurar un eje espacial preferido (por ejemplo, a lo largo de la línea que une las cargas).

3. ¿Cuál es el significado intuitivo del término cuadrupolo?

4. ¿Es la expansión multipolar una expansión en potencias de$1/r$¿solo? o de$\cos\theta$¿también?

5. Tal vez esta no sea una pregunta independiente, pero me pregunto si hay algo así como un significado geométrico/pictórico de cada término en la expansión multipolar.

El término cuadrupolo se llama así porque es el polinomio de Legendre de segundo orden$2^2=4$. El momento cuadripolar se acopla con el gradiente del campo eléctrico.

De todos modos, esta es mi opinión personal sobre el tema. Matemáticamente, es muy interesante preguntarse ¿por qué obtenemos polinomios de Legendre de esto? Resulta que los polinomios de Legendre pueden generarse ortonormalizando monomios (base para esta expansión de la serie).