¿Por qué un vértice es una derivada del propagador?

Primera nota que

$$\begin{equation} \frac{\partial}{\partial m} \frac{i}{\not p - m} = \frac{i}{(\not p-m)^2} \end{equation}$$

Ahora la respuesta exacta para finito$q$para ese diagrama es

$$\begin{equation} \mathcal{A} = \left( \frac{im}{v} \right) \frac{i}{\not p-m} \frac{i}{\not p + \not q - m} G(q) \end{equation}$$ dónde $G(q)$es el propagador de cualquier partícula que esté en la línea de puntos (supongo que es un higgs).

Ahora, por alguna razón, han eliminado el propagador punteado de la respuesta.$^1$, tomemos eso como un regalo, por lo que estamos realmente interesados ​​en

$$\begin{equation} \mathcal{A}' = \frac{im}{v} \frac{i}{\not p- m} \frac{i}{\not p + \not q -m} \end{equation}$$ en el limite $q\rightarrow 0$, lo anterior se convierte en $$\begin{equation} \mathcal{A}' = \frac{im}{v} \left(\frac{-1}{(\not p-m)^2} + O (q)\right) \rightarrow \frac{-m}{v} \frac{i}{(\not p-m)^2} = \frac{-m}{v} \frac{\partial}{\partial m} \frac{i}{\not p - m} \end{equation}$$ que es lo que querías.

El punto general es que las cosas se simplifican en el$q\rightarrow 0$límite.

---

$^1$No estoy 100% seguro de por qué hacen esto sin pensarlo más, pero con un vistazo rápido a las notas parece que tienen en mente procesos como$H\rightarrow \gamma \gamma$, por lo que en la identidad que usa, el Higgs se toma implícitamente como una partícula externa, mientras que los fermiones se ejecutan en un bucle. Por lo tanto, el propagador de Higgs desaparecerá ya que es una línea externa en el diagrama que finalmente le interesa, mientras que los propagadores de fermiones aparecen en el bucle. El resultado neto de este truco es convertir efectivamente una función de tres puntos en un ciclo a la derivada de una función de dos puntos en un ciclo, que es mucho más fácil de manejar. Nuevamente, físicamente, la idea es que a medida que el impulso se vuelve muy pequeño, el cálculo debería simplificarse. Este tipo de truco es muy útil.