¿Por qué los contratérminos en la teoría ϕ4ϕ4\phi^4 renormalizada con potencia dos en los campos dan vértices y no propagadores?

Considerar$\phi^4$teoría:

$$\mathcal L=\frac12 Z_1(\partial\phi)^2-\frac12 Z_m m^2\phi^2-\frac{1}{4!}\lambda_0\phi^4$$

Hay dos enfoques para la teoría de la perturbación:

Primero

El propagador está dado por

$$\Delta=\frac{1}{Z_1p^2-Z_m m^2}$$ y hay un tipo de vértice, con valor $$-i\lambda_0$$

Segundo

El propagador está dado por

$$\Delta=\frac{1}{p^2-m^2}$$ y hay dos tipos de vértices, con valor $$-i((Z_1-1)p^2-(Z_m-1)m^2),\qquad -i\lambda_0$$

Los dos enfoques son completamente equivalentes y dan lugar a exactamente la misma expresión para un proceso de dispersión dado.

Tenga en cuenta que los coeficientes$Z_1,Z_m$depende del parámetro de expansión$\lambda$. Esto significa que el primer enfoque es más engorroso porque, en general, no está claro qué diagramas contribuyen a un orden dado en la teoría de perturbaciones, ya que tanto los vértices como los propagadores contienen potencias de$\lambda$. Por otro lado, el segundo enfoque conduce a más diagramas (porque hay un vértice más) pero es más conveniente (porque los propagadores son independientes de$\lambda$).

Quiero agregar a la respuesta de AccidentalFourierTransform :

Asumiendo el$\delta$son pequeños, entonces podemos expandir el término renormalizado en potencias de$(\delta_2p^2-\delta_m)$:

$$\frac{i}{Z_2p^2-Z_mm^2}=\frac{i}{p^2-m^2 }\left(1+\frac{\delta_2p^2-\delta_m}{p^2-m^2}\right)^{-1}=\frac{i}{p^2-m^2 }\left(1-\frac{\delta_2p^2-\delta_m}{p^2-m^2}+\dots\right)=\frac{i}{p^2-m^2 }+\frac{i}{p^2-m^2 }\left(i\delta_2p^2-i\delta_m\right)\frac{i}{p^2-m^2 }+\dots$$

¿Cuál es la suma de todos los diagramas que consisten en el término original + el contratérmino, por lo que al identificar$\frac{i}{p^2-m^2}$como término de impulso, identificamos$i(\delta_2p^2-\delta_m)$como el contratérmino del impulso.

Esto viene del tratamiento

$$\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi_r)^2-\frac{1}{2}m^2\phi_r^2$$ como el lagrangiano libre, y tratando $$-\frac{\lambda}{4!}\phi_r^4+\frac{1}{2}\delta_Z(\partial_\mu\phi_r)^2-\frac{1}{2}\delta_m\phi^2_r-\frac{\delta_\lambda}{4!}\phi_r^4$$ como la perturbación. Los propagadores se definen entonces como las funciones de correlación de dos puntos ordenadas en el tiempo de las teorías de campo "libre", al igual que antes. En este caso, el propagador del campo escalar es $$D_F(x-y)\equiv \langle0|T\{\phi(x)\phi(y)\}|0\rangle=\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\frac{i}{p^2-m^2+i\epsilon}e^{-ip\cdot(x-y)}.$$ La única diferencia es que hemos cambiado lo que estamos viendo como la teoría "libre". Básicamente, esto es solo cambiar el punto central de la expansión de la perturbación.

Los vértices provienen de los términos de perturbación. Por ejemplo, al orden más bajo (un vértice), expandimos

$$\exp\left[i\int\mathcal{L}\right]\approx\exp\left[i\int\mathcal{L}_0\right]\Big[1+i\int dx^4 \Big(-\frac{\lambda}{4!}\phi_r^4$$ $$+\frac{1}{2}\delta_Z(\partial_\mu\phi_r)^2-\frac{1}{2}\delta_m\phi^2_r-\frac{\delta_\lambda}{4!}\phi_r^4\Big) + ...\Big].$$ Los términos$-(\lambda/4!)\phi_r^4$y$-(\delta_\lambda/4!)\phi_r^4$ambos producen vértices que conectan cuatro propagadores como en la teoría de perturbaciones normal. El término$(\delta_Z/2)(\partial_u\phi_r)^2-(\delta_m/2)\phi_r^2$produce un vértice que conecta dos propagadores. Los términos derivados hacen que sea un poco más complicado ver cómo se verá el vértice, pero al observar la fórmula para$D_F(x-y)$arriba, podemos ver que$\partial_\mu$simplemente bajará un factor adicional de$p_\mu$de los propagadores conectados (ambos propagadores estarán obligados a tener el mismo impulso por conservación de cuatro impulsos).