¿Cuál es el fundamento filosófico para distinguir la lógica y las matemáticas?

Déjame darte un trasfondo histórico primero. Hasta finales del siglo XIX la lógica se asoció casi exclusivamente con la lógica aristotélica, la silogística . Esta lógica no tenía cuantificadores, ni siquiera variables proposicionales, en otras palabras, era demasiado débil para soportar incluso la aritmética, y mucho menos el resto de las matemáticas (Crysipo, un estoico antiguo, y Leibniz concibieron la lógica proposicional moderna antes que Frege, pero sus ideas fueron ignorados y en gran parte olvidados). Es debido a esta debilidad que filósofos como Locke, Hume y Kant consideraron el conocimiento analítico, alcanzable a través de la "lógica pura", como algo completamente trivial e incapaz de producir nada sustancial. ¿Tenía razón Locke en que el conocimiento analítico es vacío?Las matemáticas, por otro lado, mostraban claramente verdades no triviales, como lo demostró ampliamente la obra de Euclides, y por lo tanto no podían reducirse a la lógica. Kant incluso inventó una nueva noción de "a priori sintético" que se basa en la facultad adicional de la imaginación productiva para llevar las matemáticas más allá de la mera lógica. Friedman en la Teoría de la geometría de Kant explica en detalle cómo la falta de cuantificación en el silogismo obligó al cálculo y análisis tempranos a basarse en ideas intuitivas sobre el movimiento, impidiendo construcciones más formales.

Entonces, antes de la introducción de la lógica cuantificacional por parte de Frege y Peirce a fines del siglo XIX, consulte la Historia de la cuantificación de Bonevac., las matemáticas y la lógica no necesitaban ser distinguidas específicamente, eran mundos aparte. Peirce, quien se dio cuenta filosóficamente de la algebraización y formalización de las matemáticas en el siglo XIX, creía que no requiere fundamentos lógicos formales y que, por el contrario, la lógica (cuyo alcance comprendió ampliamente en el sentido kantiano-hegeliano) depende de las matemáticas filosóficamente. Fue Frege quien pensó lo contrario y desarrolló los medios técnicos para reducir la aritmética (y el resto de las matemáticas) a la lógica en su innovador Begriffsschrift, eine der Arithmetischen Nachgebildete Formelsprache des Reinen Denkens (Concept-Script: A Formal Language for Pensamiento puro inspirado en el de la aritmética, 1879), y en Grundgesetze der Arithmetik (1893) esbozó un programa para reducir la aritmética a la lógica,logicismo _ De hecho, este programa imaginó la lógica, la nueva lógica matemática, en una sola unidad con las matemáticas y las metamatemáticas, ambas como su herramienta y fundamento.

Sin embargo, el logicismo rápidamente tuvo problemas, primero con la paradoja de Russell, que mostró que algunas de las "leyes básicas del pensamiento" de Frege eran problemáticas (la Ley Básica V, la ley de extensiones, combinada con el principio de sustitución implicaba que cada predicado define una clase). , que produjo la clase paradójica de Russell). Y luego, cuando Russell intentó remediar esto en sus Principia, resultó que incluso la lógica de Frege no podía respaldar todas las matemáticas sin suposiciones adicionales de sabor claramente no lógico, como el notorio axioma de reducibilidad . El golpe final al logicismo clásico, en su última encarnación desarrollada por Carnap, fue dado por el teorema de incompletitud de Gödel,Friedman's Logical Truth and Analyticity en "Logical Syntax of Language" de Carnap para una discusión detallada de las sutilezas involucradas. Terminó incluso una propuesta más generosa para basar las metamatemáticas en la "geometría de los símbolos" además de la lógica, el formalismo de Hilbert, ver ¿Hubo una influencia kantiana en el programa formalista de Hilbert? Sin embargo, más recientemente, Heck y Hale-Wright presentaron algunas propuestas neologicistas .

La distinción entre matemáticas y lógica se mantuvo casi universalmente antes de los tiempos modernos.

Las obras lógicas de Aristóteles ( Análisis previo y posterior ) forman parte de sus obras que los filósofos posteriores agruparon como el Organon (herramienta). Por lo tanto, la lógica fue vista como una herramienta.

Antiguos como Boecio y medievales como Santo Tomás de Aquino , y lógicos como John Poinsot , et al. todos consideraban que la lógica era un arte (el arte de razonar). Por ejemplo, Aristóteles escribe en Metafísica I (980b26) que “la raza humana vive del arte y de los razonamientos”. Santo Tomás de Aquino escribe en el proemio de su Expositio libri Posteriorum Analyticorum :

... se necesita un arte para dirigir el acto de razonar, de modo que por él un hombre al realizar el acto de razonar pueda proceder de una manera ordenada y fácil y sin error.

Y este arte es la lógica ( logica ), es decir, la ciencia de la razón ( rationalis scientia ).

De ahí por qué debe enseñarse primero la lógica ( Sententia Ethic. , lib. 6 l. 7 n. 17 [1211.]):

[E]l orden correcto de aprendizaje es que los niños primero sean instruidos en cosas pertenecientes a la lógica porque la lógica enseña el método de toda la filosofía. A continuación , deben ser instruidos en matemáticas , que no necesita experiencia y no excede la imaginación. Tercero , en las ciencias naturales , que, aunque no excedan el sentido y la imaginación, requieren sin embargo experiencia. Cuarto , en las ciencias morales , que exigen experiencia y un alma libre de pasiones [...]. Quinto , en las ciencias sapienciales y divinas , que exceden la imaginación y requieren una mente aguda.

Este orden se basa en los tres grados de abstracción, de los cuales las matemáticas eran el segundo. Boecio, siguiendo a Aristóteles, propuso que las "ciencias especulativas pueden dividirse en tres clases: física, matemática y metafísica:"

1. La física [es decir, las ciencias naturales] se ocupa de lo que está en movimiento y es material.
   ^{[ ens móvil o "ser móvil/cambiable"]}
2. Las matemáticas se ocupan de lo que es material y no está en movimiento.
   ^{[∵ objetos matemáticos, "matemáticas", no se mueven ni cambian]}
3. La metaciencia* se ocupa de lo que no está en movimiento ni es material.
   ^{*es decir, "metafísica" en el sentido aristotélico del estudio del "ser qua ser"}

(cf. §II de De Trinitate de Boecio )