Wikipedia sobre [lógica de segundo orden] dice:
La lógica de predicados fue presentada principalmente a la comunidad matemática por CS Peirce, quien acuñó el término lógica de segundo orden y cuya notación es más similar a la forma moderna.
Sin embargo, hoy en día la mayoría de los estudiantes de lógica están más familiarizados con las obras de Frege...
Frege usó diferentes variables para distinguir la cuantificación sobre objetos de la cuantificación sobre propiedades y conjuntos; pero él no se veía a sí mismo haciendo dos tipos diferentes de lógica.
Después del descubrimiento de la paradoja de Russell, se dio cuenta de que algo andaba mal con su sistema. Eventualmente, los lógicos descubrieron que restringir la lógica de Frege de varias maneras, a lo que ahora se llama lógica de primer orden, eliminó este problema: los conjuntos y las propiedades no se pueden cuantificar solo en la lógica de primer orden...
Se encontró que la teoría de conjuntos podía formularse como un sistema axiomatizado dentro del aparato de la lógica de primer orden ( a costa de varios tipos de completitud , pero nada tan malo como la paradoja de Russell), y así se hizo (ver Zermelo-Fraenkel set teoría).
¿Cuáles fueron estas nociones de integridad que tuvieron que ser abandonadas para encajar ZFC dentro del marco de la lógica de primer orden?
La lógica de Frege era en realidad una lógica de segundo orden (y más...).
La restricción necesaria para evitar las paradojas (la de Russell) no es evitar el segundo orden y adoptar el primer orden, sino los axiomas que desea usar. Los culpables son:
Comprensión "ingenua" - Cantor
Ley Básica V - Frege
Las restricciones son necesarias tanto si formula, por ejemplo, ZFC en lógica de primer o segundo orden (otros aspectos también son relevantes...).
El primer orden es "más simple" y tiene algunas buenas propiedades, como la completitud del cálculo deductivo estándar (o sistemas de prueba ): consulte el Teorema de completitud de Godel. Esto ya no es cierto en la lógica de segundo orden.
Esto se aplica también a ZFC .
Pero toda teoría formalizada suficientemente "fuerte" (y este concepto de fuerte es preciso y formal, y es muy ... débil) en términos de poder expresivo está sujeta al Teorema de Incompletitud de Godel, que se aplica también a la Aritmética de Peano y ZFC , ambos a su versión con lógica de primer y segundo orden.
¿Cuáles fueron estas nociones de integridad que tuvieron que ser abandonadas para encajar ZFC dentro del marco de la lógica de primer orden?
La lógica de segundo orden (SOL) cuantifica sobre predicados o relaciones que incluyen funciones. SOL no se puede reducir a FOL, de acuerdo con la teoría de conjuntos actual, porque FOL se dirige a lo sumo a un conjunto contablemente infinito. Por el teorema de Skolem, existe un modelo contable que satisface precisamente las mismas oraciones de primer orden sobre números reales y conjuntos de números reales que el conjunto real R de números reales. En el modelo contable no puede haber muchos subconjuntos incontables de N o R y la propiedad del límite superior mínimo no puede satisfacerse para cada subconjunto acotado de R. Entonces, si los números reales no son contables, entonces debe haber muchos modelos FOL de R. En SOL, sin embargo, solo hay un modelo (excepto el isomorfismo).
Sin embargo, SOL tiene una desventaja principal. Según un resultado de SOL de Gödel no admite una teoría de demostración completa. Entonces SOL no es lógica, propiamente hablando. Quine lo llama "teoría de conjuntos con piel de cordero".
DBK
Mauro ALLEGRANZA
Mozibur Ullah