¿Cuáles son las implicaciones filosóficas de la teoría de categorías?

La Enciclopedia de Filosofía de Stanford tiene un extenso artículo sobre la teoría de categorías y sus implicaciones filosóficas. Sobre el significado de la teoría, dice que:

La teoría de categorías desafía a los filósofos de dos maneras, que no son necesariamente excluyentes entre sí. Por un lado, es ciertamente tarea de la filosofía aclarar el estatus epistemológico y ontológico general de las categorías y los métodos categóricos, tanto en la práctica de las matemáticas como en el paisaje fundacional. Por otro lado, los filósofos y los lógicos filosóficos pueden emplear la teoría de categorías y la lógica categórica para explorar problemas filosóficos y lógicos.

Por lo tanto, es evidente que la teoría de categorías es relevante y tiene implicaciones tanto para las matemáticas como para la filosofía, y no es solo semántica. Desde la perspectiva de las matemáticas, la teoría de categorías es muy significativa porque "hacer matemáticas en un marco categórico casi siempre es radicalmente diferente de hacerlo en un marco teórico de conjuntos".

El artículo proporciona una lista de resultados filosóficos derivados de la teoría de categorías, tales como:

La jerarquía de las doctrinas categóricas: categorías regulares, categorías coherentes, categorías de Heyting y categorías booleanas; todos estos corresponden a sistemas lógicos bien definidos, junto con sistemas deductivos y teoremas de completitud; sugieren que las nociones lógicas, incluidos los cuantificadores, surgen naturalmente en un orden específico y no están organizadas al azar.

Y también menciona que “la teoría de categorías permitió el desarrollo de métodos que han cambiado y continúan cambiando la faz de las matemáticas”.

Estos son solo ejemplos que comienzan a responder a sus preguntas; hay demasiado en el (excelente) artículo para poner aquí, pero leerlo debería completar bien las respuestas.

La siguiente cita es de la entrada de wikipedia sobre Estructuralismo:

El estructuralismo es un paradigma teórico que enfatiza que los elementos de la cultura deben entenderse en términos de su relación con un sistema o "estructura" más amplio y global. En otras palabras, el estructuralismo postula que los elementos culturales discretos no son explicativos en sí mismos, sino que forman parte de un sistema significativo y se entienden mejor con respecto a su ubicación dentro (y su relación con) la estructura como un todo.

Creo que eso recuerda mucho a la filosofía de la teoría de categorías (en términos exclusivamente matemáticos) en la medida en que tiene una. De hecho, me atrevería a decir que la teoría de categorías es una implementación de esta idea filosófica general en el modo preciso de las matemáticas, y ha demostrado ser muy exitosa allí.

Un ejemplo específico puede mostrar lo que quiero decir con esto explícitamente: tomemos la operación matemática más simple que podamos pensar, la de la suma. Originalmente, esto se definió con respecto a los números enteros, y se vio que seguían ciertas reglas (es decir, existencia de identidad y la ley asociativa). Tenga en cuenta también que para sumar dos números enteros no necesitamos la ayuda de un tercero, se define únicamente en términos de los dos números enteros que tenemos a mano.

Con el nacimiento del álgebra moderna y la invención de nuevas estructuras matemáticas, digamos por simplicidad: grupos, cada uno de los cuales tenía internamente una noción de suma (se podían sumar dos elementos de un grupo para obtener un tercero, y de hecho esto caracteriza que grupo) y una noción externa de adición (podría sumar dos grupos diferentes para obtener un tercero, también tenía la existencia de una identidad y una regla asociativa, por lo que se llama adición).

Se observó que en otros sistemas algebraicos persistía el mismo patrón: había operaciones internas que caracterizaban esa instancia individual de ese tipo de sistema algebraico, y una adición externa. Ahora bien, estas adiciones externas para cada categoría de sistemas algebraicos eran diferentes y el problema era llegar a una definición uniforme. Eventualmente se notó que definir esta adición externa con referencia a cualquier otro sistema algebraico de su tipo daba una definición uniforme (generalmente llamada propiedad/definición universal) y además, la definición no se refería directamente a la estructura interna de ninguno de estos. sistemas, sino más bien cómo se relacionan entre sí (llamado morfismo en la teoría de categorías).

Finalmente, para completar el círculo, al usar esta definición en la categoría de conjuntos finitos (que no tienen operaciones internas dadas), encontramos que reinventamos los números enteros.

En la filosofía continental contemporánea, soy consciente de que Badiou utiliza la teoría de categorías en el desarrollo posterior de su pensamiento, aunque no puedo decir que entienda lo que está haciendo, así que no voy a decir nada al respecto. Sin embargo, véase 'Lógica de los mundos'. La siguiente es una cita de este sitio: http://theimmeasurableexcess.blogspot.com/2008/07/badiou-and-deleuze-brothers-in.html

'Badiou emplea dos regímenes diferentes: el ser/la teoría ontológica/de conjuntos y la teoría del aparecer/lógica/categoría.'

Parece que la mente usa la teoría de categorías para sistematizar y navegar su conocimiento:

http://www.ploscompbiol.org/article/info:doi/10.1371/journal.pcbi.1000858

El artículo demuestra cómo la sistematicidad, es decir, la capacidad de generalizar y extraer conocimiento sin conclusiones espurias que son una pesadilla en Inteligencia Artificial, por ejemplo: un automóvil puede ser rojo, por lo tanto, las flores rojas pueden consumir combustible, proviene naturalmente de los procesos mentales (comportamientos). ) que siguen las reglas de la teoría de categorías.

"Nuestras mentes no son la suma de una colección arbitraria de habilidades mentales. En cambio, nuestras habilidades mentales vienen en grupos de comportamientos relacionados. Esta propiedad de la cognición humana tiene una ventaja biológica sustancial en el sentido de que los beneficios proporcionados por un comportamiento cognitivo se transfieren a una situación relacionada. sin ninguno de los costos que conlleva adquirir ese comportamiento en primer lugar […] la sistematicidad surge como una consecuencia natural de las relaciones estructurales entre los procesos cognitivos, en lugar de depender de los detalles específicos de las representaciones cognitivas sobre las que operan esos procesos, y sin depender de suposiciones demasiado fuertes"

Creo que la relación entre las categorías de las matemáticas y las categorías como razonamiento mental de la filosofía y la psicología son al fin muy estrechas.

Debido a que esto tiene implicaciones sobre la estructura de la mente humana y, por lo tanto, la estructura de la realidad que percibimos y la forma en que pensamos y actuamos sobre lo percibido, puede brindar cierto apoyo para una filosofía aristotélico-tomista sobre las esencias, y un apoyo firme para el razonamiento por analogía.

Por analogía, de la wikipedia:

http://en.wikipedia.org/wiki/Analogía

Steven Phillips y William H. Wilson [18][19] utilizan la teoría de categorías para demostrar matemáticamente cómo el razonamiento analógico en la mente humana, que está libre de las inferencias espurias que plagan los modelos convencionales de inteligencia artificial (llamado sistematicidad), podría surgir de forma natural. del uso de relaciones entre las flechas internas que mantienen las estructuras internas de las categorías más que las meras relaciones entre los objetos. Así, la mente puede utilizar analogías entre dominios cuyas estructuras internas encajan de acuerdo con una transformación natural y rechazar aquellos que no lo hacen.

Si el OP me permite reformular la pregunta, de modo que pueda proporcionar algún tipo de respuesta: '¿Existe alguna conexión entre la teoría de categorías tal como la practican los matemáticos hoy en día y las categorías de Aristóteles tal como se ven en su ORGANON?

Sí, hay una conexión, pero no es directa. En PREOR ANALYTICS vemos el primer análisis sistemático de la lógica en Occidente, que toma la forma de un cálculo proposicional de dos términos. Este esquema relativamente simple admite un pequeño número de categorías que Aristóteles utilizó para clasificar las proposiciones.

En el siglo XIX, Boole amplió los resultados de Aristóteles para incluir un número arbitrario de términos que hacían imposible la perspectiva de un catálogo. En sus LEYES DEL PENSAMIENTO, Boole demostró que el número de categorías es infinito.

En el siglo XX, Stone demostró que cualquier álgebra booleana también es un conjunto. Esta es la conexión con la teoría de categorías. Las categorías se usan para evaluar conjuntos usando álgebra.

Entonces, ¡esa es la conexión! Comenzando con las categorías de Aristóteles, continuando con el álgebra de Boole y terminando con los conjuntos de Stone. Todo el material relevante es de dominio público, si desea leerlo.