¿La existencia del conjunto vacío es un axioma de ZFC o no?

En resumen, no necesitamos adoptar esto como un axioma. Pero...

Si hay conjuntos, el axioma de los subconjuntos nos dice que hay un conjunto vacío: Si$x$es un conjunto, entonces$\{y\in x\mid y\ne y\}$es un conjunto, y está vacío, ya que no hay elementos$y$de$x$para cual$y\ne y$. El axioma de extensionalidad nos dice entonces que solo hay un conjunto vacío.

Entonces, el problema es si podemos probar que hay conjuntos. El axioma del infinito nos dice que hay un conjunto (que es infinito, o inductivo, o cualquier formalización que uses). Pero esto parece una exageración terrible para comprobar que hay conjuntos, para postular que hay infinitos.

Algunas personas prefieren tener un axioma que establezca que hay conjuntos. Por supuesto, algunas personas simplemente prefieren tener un axioma que establezca que hay un conjunto vacío, por lo que de inmediato tenemos que hay conjuntos y evitamos tener que aplicar la comprensión para verificar que el conjunto vacío existe.

Otras personas adoptan una formalización de lógica de primer orden en la que podemos probar que hay conjuntos. Más cuidadosamente, la mayoría de las formalizaciones de la lógica (ciertamente la que yo prefiero) prueban como un teorema que el universo del discurso no está vacío. En el contexto de la teoría de conjuntos, esto significa "hay conjuntos". Esto es pura lógica, antes de llegar a los axiomas de la teoría de conjuntos. Bajo este enfoque, no necesitamos el axioma que establece que hay conjuntos, y la existencia del conjunto vacío se puede establecer como se explicó anteriormente.

(La prueba lógica de que hay conjuntos no es particularmente esclarecedora o filosóficamente significativa. Por lo general, uno de los axiomas de la lógica de primer orden es que$\forall x\,(x=x)$. Si$\exists x\,(x=x)$--el enunciado formal correspondiente a "hay conjuntos"-- es falso, entonces$\forall x\,(x\ne x)$. Instanciando, obtenemos$x\ne x$, e instanciando el axioma$\forall x\,(x=x)$obtenemos$x=x$, y una de estas conclusiones es la negación de la otra, que es una contradicción. Esto no es particularmente esclarecedor, porque, por supuesto, elegimos nuestros axiomas lógicos y reglas de creación de instancias para que este argumento tonto pueda pasar, no es un resultado profundo y probablemente no obtengamos mucha comprensión de él).

Resulta que, sin embargo, algunos otros prefieren permitir la posibilidad de que haya universos de discurso vacíos, por lo que su formalización de la lógica de primer orden es ligeramente diferente, y en este caso, tenemos que adoptar algún axioma para concluir que hay al menos uno. colocar.

Al fin y al cabo, esto se considera un asunto menor, más una cuestión de gusto personal que una cuestión matemática.

Si aparece como un axioma o no, depende del temperamento del autor.

En la mayoría de las formalizaciones de la lógica de primer orden (la lógica subyacente detrás de la teoría de conjuntos ZFC), la fórmula "existe algo":

Muchos autores, sin embargo, piensan que hace una exposición más clara enumerar la existencia de un conjunto vacío como un axioma explícito en lugar de depender de las sutilezas de la lógica subyacente.

Incluso en lógicas donde se permite que el universo esté vacío (y$\exists x.\mathit true$no es una tautología lógica) podríamos, en principio, conformarnos con el Axioma del Infinito, que también (en algunas de sus posibles formulaciones) afirma la existencia de un conjunto con ciertas propiedades sin depender de ningún conjunto preexistente. Entonces, como antes, el conjunto vacío se puede construir como$\{ y \in \omega \mid y\in y \land y\notin y\}$.

Sin embargo, esta última opción es inconveniente en la práctica porque hay cosas interesantes que decir sobre "ZFC sin el Axioma del Infinito", y sería engorroso (y menos llamativo) tener que hablar de "ZFC sin el Axioma del Infinito, pero con un axioma de conjunto nulo agregado" al establecer esos resultados.

Hay una serie de axiomatizaciones elementalmente equivalentes de ZFC (en el sentido de que las pruebas de equivalencia involucran solo consideraciones lógicas elementales). Como observa, en algunas axiomatizaciones, la existencia de un conjunto vacío es un axioma (con otros axiomas que prueban la unicidad), en otras axiomatizaciones, la existencia del conjunto vacío es un teorema. ¡No hay nada profundo pasando aquí!