¿Se puede traducir todo razonamiento matemático a la lógica tradicional?

En una palabra, no.

Voy a tomar la versión más caritativa de su pregunta.

1) Estoy suponiendo que las entidades matemáticas están fundamentadas de alguna manera, y al razonar te refieres a manipular entidades matemáticas. La razón por la que estoy haciendo esta suposición es porque la lógica silogística no dice nada sobre lo que se está razonando (el contenido del pensamiento por así decirlo, podrían ser personas y atributos, podrían ser números y propiedades), así que supongo que quieres decir que son generados / dado en otra parte.

2) ¿Existen formas de razonar sobre entidades matemáticas que excedan la lógica silogística? Muy simple, sí. Tenga en cuenta que aunque la lógica silogística no dice nada sobre el contenido del pensamiento, en realidad hace algunas suposiciones. Llamemos a estos supuestos supuestos operativos o incluso epistemológicos. Asume que siempre puede dar una respuesta verdadera o falsa a las conclusiones. También supone que, aunque los objetos de cognición no están especificados, son de naturaleza discreta.

3) Entonces la lógica silogística no puede hablar de nociones indefinidas como la división por cero. No puede hablar de procedimientos interminables. No puede hablar sobre el continuo en lugar de objetos/conjuntos discretos, por lo que no puede hablar sobre los objetos que están en el análisis no estándar de Robinson y los infinitos e infinitesimales reales.

Recomiendo Philosophy of Logics de Susan Haack para entender más.

• Prior, AN " Lógica, Tradicional ". Enciclopedia de Filosofía . ed. Donald M. Borchert. 2ª ed. vol. 5. Detroit: Macmillan Reference USA, 2006. 493-506. Biblioteca de referencia virtual de Gale. Web. 20 de mayo de 2016.

menciones

• Timoteo Smiley. " Silogismo y Cuantificación ". El Diario de Lógica Simbólica 27, no. 1 (1962): 58-72.

Resumen de Smiley:

Cualquiera que lea a Aristóteles, sabiendo algo sobre la lógica moderna y nada sobre su historia, debe preguntarse por qué la silogística no puede traducirse tal como está en la lógica de la cuantificación. Han pasado ya más de veinte años desde la invención del marco de requisitos, la lógica de la cuantificación ordenada.

Él concluye:

Si la lógica aristotélica, después de una larga preeminencia y un período más corto de descrédito, ahora se considera con más moderación, el cambio seguramente se debe a la formalización de Lukasiewicz de la silogística tradicional en la década de 1930, y su aplicación de técnicas e ideas modernas. sobre el sistema resultante. Pero el precio pagado por una rehabilitación de la lógica tradicional a través de un álgebra del tipo Łukasiewicz es un cierto divorcio de la corriente principal de la lógica moderna: Łukasiewicz llegó incluso a concluir ( op. cit. [ Łukasiewicz, enero de 1957. El silogismo de Aristóteles desde el punto de vista de la lógica formal moderna. Oxford: Clarendon Press. ], pag. 130) que la silogística de Aristóteles "existe aparte de otros sistemas deductivos, teniendo su propia axiomática y sus propios problemas". El resultado es una cierta ambivalencia en la actitud actual hacia la vieja lógica: cuando compilamos nuestro Equipo Mundial de lógicos, tendemos a incluir a Aristóteles como capitán (que no juega). Esta actitud, a la vez admirativa y desdeñosa, está bien ilustrada en la conclusión de Łukasiewicz de que "La silogística de Aristóteles es un sistema cuya exactitud supera incluso la exactitud de una teoría matemática, y este es su mérito eterno. Pero es un estrecho y no se puede aplicar a todo tipo de razonamiento, por ejemplo, a los argumentos matemáticos... La lógica de los estoicos, los inventores de la forma antigua del cálculo proposicional, era mucho más importante que todos los silogismos de Aristóteles. Nos damos cuenta hoy que la teoría de la deducción y la teoría de los cuantificadores son las ramas más fundamentales de la lógica.” (p. 131.)

Por supuesto, sería absurdo y anacrónico de mi parte tratar de reivindicar la elección de tema de Aristóteles sugiriendo que estaba conscientemente guiado por algo parecido a la idea moderna de cuantificación. Pero sin cometer este error, hay dos observaciones que creo que se pueden hacer con propiedad. Una es que si es anacrónico sugerir que la lógica de Aristóteles es 'realmente' una teoría de la cuantificación, entonces es igualmente anacrónico sugerir que es 'realmente' una teoría de los funtores primitivos A , I, etc. Como señala el propio Łukasiewicz en su libro, “la lógica de Aristóteles es formal sin ser formalista”; y lo que, por conveniencia, he llamado teoría "tradicional" en § 2 es, tanto en su concepción consciente como un álgebra de clases no vacías como en su vocabulario formalista y axiomatización, tan distintivamente "moderna" como la lógica de cuantificación. La otra observación que debe hacerse es que la lógica de la cuantificación múltiple no es en ningún sentido algo que exista "aparte de otros sistemas deductivos". No sólo es formalmente nada más que una reduplicación sistemática de la lógica simple ordenada estándar, sino que también es el marco obvio para la formalización de toda una gama de teorías matemáticas: cualquier rama de la geometría proporcionará un ejemplo y las de Russell o von Neumann. ' s establecer teorias otro. Por lo tanto, me gustaría pensar que las traducciones presentadas anteriormente ayudarían a contrarrestar la sugerencia de incluso una incompatibilidad residual entre la lógica formal moderna y la aristotélica.

Es posible que desee consultar Gödel, Escher, Bach de Hofstadter. De hecho, es posible codificar todos los axiomas de Peano junto con la lógica de primer orden en un sistema puramente "tipográfico", como lo llama Hofstadter. Teóricamente, eso captura toda la teoría de números (aunque la prueba de conmutatividad de la suma que se da en el libro muestra cuán difícil sería un proyecto). La prueba de su primer ejemplo sería algo como:

Ex:SS0+Sx=SSS0
Ey:S0+Sy=SS0
...various steps including transitivity of equality
Ez:S0+Sz=SSS0

Por supuesto xy ypor encima son 0, y zpor encima es S0alias 1.

Entonces se puede hacer.

Aunque tal vez la respuesta que estabas buscando es: solo si agregas algunos axiomas matemáticos también, como también dice el comentario anterior de @Mauro.