¿Por qué tantas fuerzas son explicables usando cuadrados inversos cuando el espacio es tridimensional?

Esto no es paradójico y no es necesario que ningún fenómeno físico tenga que obedecer a priori a ninguna ley particular. Algunos fenómenos tienen que obedecer las leyes del cuadrado inverso (como, en particular, la intensidad de la luz de una fuente puntual), pero son relativamente limitados (más sobre ellos a continuación).

¡Peor aún, la gravedad y la electricidad ni siquiera siguen esto en general! Para este último, son sólo las cargas puntuales en régimen electrostático las que obedecen una ley del inverso del cuadrado. Para sistemas más complicados, tendrá interacciones magnéticas y correcciones que dependen de la forma de las distribuciones de carga. ¡Si los sistemas son (globalmente) neutrales, todavía habrá interacciones electrostáticas que se reducirán como el cubo inverso o más rápido! Las fuerzas de van der Waals entre moléculas, por ejemplo, son de origen electrostático pero disminuyen como$1/r^6$.

Es para sistemas con un flujo conservado que debe cumplirse la ley del cuadrado inverso, al menos a grandes distancias. Si una fuente de luz puntual emite una cantidad fija de energía por unidad de tiempo, entonces esta energía debe atravesar cada superficie esférica imaginaria que imaginamos. Dado que su área aumenta como$r^2$, la potencia por unidad de área (también conocida como la irradiancia ) debe bajar como$1/r^2$. En una imagen simplificada, esto también es cierto para la fuerza electrostática, donde es el flujo de fotones virtuales lo que debe conservarse.

La imagen de la línea de campo conocida de la escuela podría ser útil con eso:

El área superficial de la esfera circundante (y no su volumen) determina la densidad de las líneas generadas por una carga puntual, correspondiente a la intensidad del campo.

Estos fenómenos físicos (gravedad, fuerza de Coulomb) son fuerzas causadas por un objeto que puedes considerar como un punto. Es decir, para que se cumpla la ley del cuadrado inverso, el objeto emite la fuerza uniformemente en todas las direcciones desde un punto.

Eso significa que a cualquier distancia (llámese$R$) del objeto, sentirás la misma fuerza que sentirías en cualquier lugar sobre la superficie de una esfera cuyo radio es esa distancia.

La superficie de una esfera es$2$-dimensional, no$3$-dimensional, y su área es como$R^2$. Cuanto mayor sea el radio, mayor será la superficie de la esfera y más lejos estará de la fuente. Entonces, la fuerza de la fuente es inversamente proporcional al área superficial de la esfera.

Este tipo de fuerzas provienen de un sistema que es invariante bajo rotaciones, por lo tanto, bajo el grupo SO (3) (espacio oscuro: 3). Por lo tanto, deberían existir 3 generadores de estas rotaciones, por lo tanto, 3 transformaciones de calibre. Además, si su sistema se conserva en el tiempo, la energía se conserva y estos generadores son constantes de movimiento.

Cuando estamos interesados ​​en las interacciones, observamos interacciones que se vuelven realmente pequeñas a grandes distancias, y en el caso de la gravedad, se trata de una fuerza de atracción.

Entonces, si observa una fuerza F = f (r), si recuerdo bien, solo en el caso de f (r) = 1 / r ^ 2 puede obtener tales generadores de calibre que se conocen como 1 componente del momento angular (imponiendo un movimiento plenario, por lo que invariante bajo una rotación alrededor del momento angular) y dos componentes del vector de Laplace-Runge-Lenz (imponiendo que los ejes de la elipse sean constantes, generando las otras 2 rotaciones).

Si cambia la geometría de su sistema, estudiará algunas otras simetrías y así obtendrá algún otro grupo que conduce a otros generadores. Entonces, las fuerzas permitidas que conservarán la geometría de su problema serán diferentes.

De acuerdo con la ley del cubo cuadrado, para cualquier número real positivo r, un sistema tiene las mismas propiedades que otro sistema similar, excepto que es r veces más grande y ocurre a 1/r veces la velocidad. La ley del cubo cuadrado en realidad no es exactamente cierta, pero está muy cerca de serlo debido al tamaño extremadamente pequeño de las moléculas. Si aumenta lentamente la tensión de un material quebradizo que se grabó nanosmooth, habrá una distribución de probabilidad de a qué tensión se romperá con una desviación estándar mucho menor que la fuerza a la que se rompe. Para una varilla de vidrio grabada nanosmooth, se romperá con una tensión muy cercana a 4 veces si tiene el doble de espesor porque la cantidad de tensión que soporta una varilla es independiente de su longitud y una varilla del doble de grosor es como 4 varillas del original espesor. Cuanto mayor sea la tensión aplicada a un material quebradizo que fue grabado nanosmooth, mayor será la tasa de nucleación homogénea de una grieta que es lo suficientemente grande como para sostener su propio crecimiento y luego crecer a la velocidad del sonido en el material que conduce a su fractura porque cuanto más corto la grieta tiene que ser para sostener su crecimiento. La razón por la que su crecimiento se sostendrá después de que la grieta nucleada alcance un tamaño crítico es porque cuanto más larga es la grieta, más se magnifica la tensión en su punta. Definamos la fuerza de una esfera de vidrio que fue grabada nanosmooth como la tensión a la cual el tiempo esperado para que se rompa es su diámetro multiplicado por 1 s/m. Una esfera nanosuave del doble del tamaño tiene una resistencia a la tracción ligeramente menor porque su resistencia a la tracción se define por lo que da 1/16 de la tasa de nucleación de una grieta que s lo suficientemente grande como para sostener su crecimiento. El vidrio es una sustancia inestable porque la tasa de nucleación de su forma cristalina no es cero, por lo que su fuerza no se puede definir en escalas de tamaño realmente grandes. Sin embargo, podemos definir la fuerza del corindón de manera similar a escalas de tamaño arbitrariamente grandes de acuerdo con una teoría mecánica cuántica simplificada donde los electrones y los núcleos son cargas puntuales sin química nuclear y la constante de gravitación es cero porque es una sustancia infinitamente estable según eso. teoría. Creo que resulta que, de acuerdo con esa definición, una esfera del tamaño de un humano tiene una fuerza casi tan alta como una de unos pocos átomos de ancho, pero una vez que pasas un cierto tamaño, su fuerza varía aproximadamente como el recíproco del logaritmo de su Talla. Por eso, la ley del cubo cuadrado se acerca a ser exactamente verdadera a medida que el tamaño se acerca al infinito porque la fracción de la resistencia a la tracción que se pierde al duplicar el tamaño varía como el recíproco del logaritmo del tamaño. La resistencia de una esfera de corindón también disminuye con la temperatura a temperaturas por debajo de la temperatura ambiente dado un tamaño suficientemente grande porque una temperatura más alta da una mayor tasa de nucleación de una grieta que es lo suficientemente grande como para sostener su crecimiento. Sin embargo, en el cero absoluto, una esfera de corindón no perderá fuerza en ningún tamaño, sin importar cuán grande sea. La resistencia de una esfera de corindón también disminuye con la temperatura a temperaturas por debajo de la temperatura ambiente dado un tamaño suficientemente grande porque una temperatura más alta da una mayor tasa de nucleación de una grieta que es lo suficientemente grande como para sostener su crecimiento. Sin embargo, en el cero absoluto, una esfera de corindón no perderá fuerza en ningún tamaño, sin importar cuán grande sea. La resistencia de una esfera de corindón también disminuye con la temperatura a temperaturas por debajo de la temperatura ambiente dado un tamaño suficientemente grande porque una temperatura más alta da una mayor tasa de nucleación de una grieta que es lo suficientemente grande como para sostener su crecimiento. Sin embargo, en el cero absoluto, una esfera de corindón no perderá fuerza en ningún tamaño, sin importar cuán grande sea.

De acuerdo con https://en.wikipedia.org/wiki/Size_effect_on_structural_strength , los materiales se vuelven más débiles a un tamaño mayor en una cantidad mucho mayor que su resistencia teórica disminuye con el tamaño. Probablemente se deba a que rascar está lejos de seguir la ley del cubo cuadrado. Para una punta de diamante tetraédrica hecha fracturándola a lo largo de sus planos de división deslizándose a lo largo del vidrio nanoliso a una velocidad y fuerza dadas, probablemente hará un rasguño en el vidrio nanoliso que es más del doble de profundo si se aplica 4 veces la fuerza exactamente en el mismo dirección porque rascarse es un proceso explicado a nivel molecular. Ver ¿Cómo una punta infinitamente dura raya un material amorfo quebradizo cuando se desliza a lo largo de él?. La tensión superficial tampoco sigue la ley del cubo cuadrado. El radio de curvatura de un menisco de agua solo se multiplicará por la raíz cuadrada de 2 si la cantidad de gravedad se reduce a la mitad.

Solo hay dos fuerzas que se pueden expresar como el inverso del cuadrado (como se mencionó anteriormente): la ley electrostática y la ley de la gravitación universal.

Bueno, el significado es que estas son fuerzas que se remontan a "ondas esféricas", es decir, a emisiones de energía isotrópica. Puedes imaginar una piedra en un lago con olas moviéndose en círculos concéntricos. Así es con estas fuerzas que emanan de los cuerpos que las animan en ondas concéntricas en tres dimensiones.

Un estudio que apareció en la literatura el año pasado en una revista de bastante reputación parece mostrar que el campo eléctrico y el campo gravitatorio se remontan a la misma interacción fundamental. El documento se puede encontrar aquí .

El debate obviamente sigue abierto y merece mucha atención. El papel en sí es realmente fuerte ya que predice la masa del electrón, el número de Avogadro y el radio del protón: todas las cantidades que ahora solo se conocen experimentalmente y no se predicen por ningún marco teórico.