Estoy leyendo un libro realmente interesante de Zwiebach llamado "Un primer curso de teoría de cuerdas". Allí, generaliza las leyes de la electrodinámica a los casos en que las dimensiones no son 3+1. Es una idea intrigante, pero la forma en que generaliza parece una conjetura absoluta sin una base sólida. En particular, generaliza el comportamiento de los campos eléctricos al caso de 2 dimensiones espaciales y 1 temporal manteniendo . Pero me cuesta entender por qué. podría haber mantenido eso cae como el cuadrado del inverso de la distancia desde la fuente. Esencialmente, no hay forma de diferenciar entre la ley de Coulomb y la ley de Gauss en las dimensiones estándar 3+1, entonces, ¿cómo puedo preferir una sobre la otra en los otros casos? Para mí, parece que se vuelve puramente una cuestión de gusto en cuanto a qué forma matemática parece más genérica o profunda, en base a eso, uno adivina qué forma extendería su validez en los casos con un número de dimensiones diferente al que tiene. se han realizado los experimentos. Pero, por otro lado, creo que debería haber una razón bastante sensata para tratar las leyes de los mundos con un número diferente de dimensiones de esta manera, teniendo en cuenta la seriedad con la que los físicos hablan de estas cosas. Entonces, supongo que debería estar perdiéndome algo. ¿Qué es?
Gran pregunta. En primer lugar, tiene toda la razón en que hasta que encontremos un universo con un número diferente de dimensiones en el laboratorio, no existe una única forma "correcta" de generalizar las leyes de la física a diferentes números de dimensiones; debemos guiarnos por intuición física o preferencia filosófica.
Pero existen razones teóricas sólidas para elegir generalizar E&M a diferentes números de dimensiones al elegir mantener las ecuaciones de Maxwell "fijas" en todas las dimensiones, en lugar de, por ejemplo, la ley de Coulomb, la ley de Biot-Savart y la ley de fuerza de Lorentz. Por un lado, es difícil encajar el magnetismo en otros números de dimensiones mientras se mantiene como un campo vectorial: las ecuaciones definitorias del magnetismo 3D, la ley de fuerza de Lorentz y la ley de Biot-Savart, involucran productos cruzados de vectores y productos cruzados. solo se puede formular en tres dimensiones (y también en siete, pero ese es un tecnicismo extraño y el producto cruzado 7D no es tan matemáticamente bueno como el 3D).
Por otra parte, una característica teórica clave de 3D E&M es que es invariante de Lorentz y, por lo tanto, compatible con la relatividad especial, por lo que nos gustaría mantener eso cierto en otros números de dimensiones. Y la forma covariante relativista de E&M se reduce mucho más directamente a las ecuaciones de Maxwell en un marco de Lorentz dado que a la ley de Coulomb.
En tercer lugar, la E&M 3D posee una simetría de calibre y se puede formular en términos del potencial del vector magnético (estos resultan ser declaraciones muy estrechamente relacionadas). Si queremos mantener esto cierto en otros números de dimensiones, entonces necesitamos usar las ecuaciones de Maxwell en lugar de la ley de Coulomb.
Todas estas razones son variaciones de la idea básica de que si trasplantamos la ley de Coulomb a otros números de dimensiones, entonces un montón de estructura matemática realmente agradable que posee la versión 3D se desmoronaría inmediatamente.
Aquí hay una línea de razonamiento: se supone que E&M es una teoría fundamental. Tener un principio de acción puede facilitar el desarrollo de una teoría cuántica consistente. La estructura de la densidad Maxwell Lagrangiana
dmckee --- gatito ex-moderador
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