Derivación de la ley de Coulomb a partir de la ley de Gauss

He estado pensando en esto durante los últimos días. Pido disculpas si mi explicación no es muy clara.

Ya he visto derivaciones de esto, pero todavía no estoy satisfecho.

En las derivaciones de la ley de Coulomb a partir de la ley de Gauss que he visto, tomamos una capa esférica de radio r alrededor de una carga puntual y calcular el flujo eléctrico a través de ella.

∮ A mi → ⋅ d A → = mi ⋅ 4 π r 2 = q ϵ 0 ⇒ mi = q 4 π ϵ 0 r 2

Sin embargo, lo que se supone aquí es que el campo eléctrico es perpendicular a la superficie y tiene la misma magnitud en todos los puntos de la capa esférica. Sin embargo, la ley de Gauss no establece eso explícitamente, pero la ley de Coulomb nos da explícitamente la magnitud y la dirección de la fuerza entre dos cargas (y, por lo tanto, la dirección del campo eléctrico de una sola carga).

¿Estoy en lo correcto al pensar que, además de la ley de Gauss, también debemos establecer (como otra ley) que el campo eléctrico de una carga puntual apunta radialmente hacia afuera (o hacia adentro), y que su magnitud solo depende de la distancia desde el carga puntual?

Otra forma de formular mi pregunta sería: ¿esta "otra ley" está oculta de alguna manera en la ley de Gauss?

Creo que su pregunta general es: cómo saber que una carga contenida creará un campo E. particular.
No es realmente una ley, sino más bien un principio: su derivación asume implícitamente que el campo es radialmente simétrico porque la densidad de carga en cuestión lo es. De manera similar, el campo tendría una simetría asímutal si tuviera que calcular el campo de un cable con carga infinita. No hay razón a priori para que el campo no tenga la misma simetría que la configuración misma. Estoy de acuerdo en que esto es en cierto modo hacer trampa, pero ese es el lujo que tenemos los físicos sobre los matemáticos. Además, dado que obtuvo una solución, debe ser única, y eso es todo lo que necesitamos.
Sí, tiene 100% sentido suponer que el campo debe ser esféricamente simétrico para una carga puntual. Mi pregunta era si esta suposición debe agregarse explícitamente a la ley de Gauss o si es de alguna manera una consecuencia de la ley de Gauss misma.
Para la pregunta opuesta: physics.stackexchange.com/q/38404/2451

Respuestas (1)

Tiene razón en que la ley de Gauss por sí sola no se puede usar para derivar la ley de Coulomb. En su lugar, debe complementarlo con la hipótesis de que el espacio es isotrópico, pero nada más.

La cosa está realmente en el lenguaje. Empiezas con la ley de Gauss y luego dices "considera una carga puntual...", sin decir mucho sobre lo que quieres decir con eso. En particular, no es suficiente decir 'es esta cosa que tiene carga pero volumen cero', porque los dipolos eléctricos puntuales también ocupan un volumen cero y son bestias muy diferentes a las cargas puntuales (y de hecho podrías combinar los dos para hacer un no -objeto de carga puntual que "tiene carga pero volumen cero").

Entonces, lo que quiere decir con una carga puntual es un poco más fuerte, y en particular quiere decir que es un objeto esféricamente simétrico: no tiene sentido hablar de "rotar" una carga puntual.

Además de esto, debe suponer que el electromagnetismo en sí también es rotacionalmente simétrico: que si rota un conjunto de cargas, obtendrá un conjunto rotado de campos. Esto no está incluido en la ley de Gauss, pero es una suposición bastante razonable para agregar.

Si tienes ambas cosas, entonces el resultado es el siguiente:

  • El campo eléctrico producido en r por una carga puntual en r 0 debe apuntar a lo largo r − r 0 , porque si giras el mundo alrededor de ese eje, las cargas no cambian, por lo que los campos no pueden cambiar.
  • El campo eléctrico producido en r 1 y r 2 producido por una carga puntual en r 0 , donde ambos puntos están a la misma distancia | r 1 − r 0 | = | r 2 − r 0 | desde la carga puntual, debe tener la misma magnitud, porque ambos puntos están relacionados por una rotación alrededor r 0 que conserva la configuración de carga.

Sin embargo, es importante recordar que no es solo la ley de Gauss lo que lo lleva allí; necesita la suposición de isotropía.

Derivación de la ley de Coulomb a partir de la ley de Gauss
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