Fuerza de fuerza de gravedad en 1D, 2D, 3D y dimensiones espaciales superiores

Comencemos con un ejemplo del electromagnetismo, con el que puede estar familiarizado. La ley de Gauss viene dada en 3 dimensiones por:

$\int\int E.ds= \frac{Q}{\epsilon}$, dónde$E$es el campo eléctrico producido,$Q$es la carga y la integral se realiza sobre una superficie que encierra la carga. En 3 dimensiones, la forma más simple para encerrar la carga es la esfera, por lo que elegiremos esta para simplificar las matemáticas.

Haciendo la suposición razonable de que$E$es constante en todos los puntos de la esfera, la ecuación anterior se convierte en:

$4\pi r^2E =\frac{Q}{\epsilon}$y por lo tanto,$E = \frac{Q}{4\pi r^2\epsilon}$.

No es difícil ver cómo generalizar este enfoque a 2 dimensiones. En lugar de considerar una integral de superficie alrededor de una esfera, simplemente necesitamos considerar una integral de línea alrededor de un círculo. La ley de Gauss 2-D modificada se convertirá entonces en:

$\int E.dl= \frac{Q}{\epsilon}$, donde la integral se realiza alrededor de un círculo que encierra la carga$Q$.

De nuevo, evaluando esta integral se obtiene:

$2\pi rE = \frac{Q}{\epsilon}$, y por lo tanto,$E = \frac{Q}{2\pi r\epsilon}$

Finalmente, podemos generalizar a 1-D, donde un círculo en 1-D se convierte en una línea, y la integral de línea cambia a simplemente sumar puntos. Si tomamos una línea de longitud 2r, que encierra la carga, la ley de Gauss se convertirá en:

$2E = \frac{Q}{\epsilon}$, eso es,$E = \frac{Q}{2\epsilon}$

Ahora debemos ver cómo generalizar este enfoque de la gravedad.

En 3-Dimensiones, el campo gravitacional producido por una masa$M$es dado por:

$g = \frac{GM}{r^2}$

Si introducimos una nueva variable,$k$, definido como$k = \frac{1}{4\pi G}$, entonces podemos reescribir el campo como:

$g = \frac{M}{4\pi r^2k}$. Compare esto con el campo eléctrico en 3-D, que es$E = \frac{Q}{4\pi r^2\epsilon}$

Por lo tanto, se podría construir una ley de "Gauss" para el campo gravitacional y construir los campos 2D y 1D, de la misma manera que lo hice para los campos eléctricos anteriores.

Los resultados serán los mismos que para el campo eléctrico, pero con$\epsilon$reemplazadas con$k = \frac{1}{4G\pi}$, y$Q$reemplazadas con$M$.