Fuerza inversamente proporcional a la distancia al cuadrado

La respuesta corta es "observaciones".

En el caso de la ley gravitacional , las órbitas de los planetas alrededor del sol, la luna alrededor de la tierra encajan matemáticamente una fuerza con una ley del cuadrado inverso para la distancia. Una ley inversa no lo hace.

En el caso de la electricidad, este artículo señala la historia observacional :

Los primeros investigadores que sospecharon que la fuerza eléctrica disminuía con la distancia como lo hacía la fuerza gravitacional (es decir, como el inverso del cuadrado de la distancia) incluyeron a Daniel Bernoulli 1 y Alessandro Volta, quienes midieron la fuerza entre las placas de un capacitor, y Aepinus, quien supuso la ley del cuadrado inverso en 1758.

y luego otros lo tomaron de allí para terminar con las publicaciones integrales de Coulomb, basadas en mediciones.

Finalmente, en 1785, el físico francés Charles Augustin de Coulomb publicó sus primeros tres informes sobre electricidad y magnetismo donde enunció su ley. Esta publicación fue esencial para el desarrollo de la teoría del electromagnetismo.[8] Usó una balanza de torsión para estudiar las fuerzas de repulsión y atracción de partículas cargadas y determinó que la magnitud de la fuerza eléctrica entre dos cargas puntuales es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas.

En realidad, la idea de la ley del cuadrado inverso es anterior a Newton (o al menos a las publicaciones de Newton sobre el tema) al menos un poco. Robert Hooke propuso que la gravedad la obedecía antes que Newton. Su razonamiento se inspiró en consideraciones geométricas y lumínicas. Si tiene una fuente de luz puntual, la potencia que pasa a través de una esfera centrada en el punto será constante. Si el punto emite por igual en todas las direcciones, puede concluir que la potencia por unidad de área, o intensidad, disminuirá como$1/r^2$, y esto se supo por un tiempo. Básicamente, el poder de$2$proviene del hecho de que las áreas de las esferas crecen con esa potencia del radio, que proviene del hecho de que el espacio tiene$2+1 = 3$dimensiones.

Entonces, es algo natural imaginar una cantidad conservada proveniente de una fuente, distribuida uniformemente sobre una esfera. Su influencia en una partícula de prueba solo está determinada por lo que intercepta la partícula de prueba, por lo que la influencia disminuye a medida que la cantidad se distribuye sobre superficies cada vez más grandes.

Por cierto, Newton nunca le dio mucho crédito a Hooke por esta idea. Hooke, al no tener las herramientas disponibles para hacer nada con él (a diferencia de Newton, quien demostró que las leyes empíricas de Kepler se derivan inmediatamente de una ley del inverso del cuadrado), recibió menos reconocimiento del que pensó que merecía. Esta rivalidad llevó a Hooke a asociarse con Leibniz contra Newton, y el debate creció hasta abarcar el cálculo, la filosofía y todo un continente académico.

Históricamente, Isaac Newton fue, por supuesto, el primer hombre que descubrió la ley del inverso del cuadrado y Coulomb simplemente la copió de Newton. Los campos electrostático y gravitatorio siguen el$1/r^2$ley porque en algún régimen, están descritos por la misma ecuación matemática$\Delta \Phi = \rho$. En lenguaje sencillo, estas leyes indican que las líneas de campo deben ser compartidas (es decir, diluidas) por el área.$4\pi r^2$de una esfera por lo que la intensidad tiene que caer como$1/4\pi r^2$. Esta es realmente la explicación "heurística" de por qué la ley es$1/r^2$en un espacio tridimensional. En un espacio de 9 dimensiones, sería$1/r^8$etcétera.

Isaac Newton originalmente determinó la ley del inverso del cuadrado a partir de dos consideraciones independientes pero estrechamente relacionadas, casi al mismo tiempo. Uno de ellos fue una comparación del movimiento de los cuerpos cerca de la Tierra y el movimiento de la Luna. El otro eran las leyes de Kepler para las órbitas planetarias.

Con respecto a la analogía de la bola de la Luna, podría haber descubierto que la Luna está 60 veces más lejos del centro de la Tierra que los objetos en la superficie de la Tierra (360 000 km frente a 6 000 km). Tradujo esta relación a una relación de las fuerzas que deben actuar sobre los objetos a estas dos distancias para producir la relación correcta de periodicidades, y descubrió que la relación de fuerzas es de 1 a 3600 y, por lo tanto, la ley es$1/r^2$.

El otro método, que es casi equivalente (y se diferencia principalmente por tener el Sol en lugar de la Tierra como fuente de gravedad en el centro), utilizó la tercera ley de Kepler. Kepler pudo deducir las órbitas exactas de los planetas (incluido el tiempo) a partir de las meticulosas observaciones de Tycho Brahe y extrajo las leyes fenomenológicas. El tercero dice que$T^2\sim a^3$: el período de la órbita al cuadrado es proporcional a la tercera potencia del semieje mayor de la órbita elíptica. Cuando uno estudia las órbitas circulares, es sencillo demostrar que esta ley de potencia que relaciona el período y el radio es equivalente a la$1/r^2$ley de potencia en la fuerza. Estás invitado a comprobarlo tú mismo; si le faltan algunas matemáticas para hacerlo, me temo que mi reproducción de la prueba no sería útil de todos modos.

Déjame darte la derivación, de todos modos. La fuerza centrípeta (y la aceleración), como la centrífuga opuesta, va como$r\omega^2\sim r/T^2$dónde$T$es el periodo y$r$es el radio de la órbita circular. Porque Kepler determinó$T^2\sim r^{3}$en su tercera ley,$r/T^2$va como$r/r^3=1/r^2$y ya está: Derivé que la aceleración (y por lo tanto la fuerza) que tiene que actuar sobre el planeta tiene que ir como$1/r^2$.

(Tenga en cuenta que si desea$1/r$, la tercera ley de Kepler tendría que decir$T^2\sim r^2$es decir$T\sim r$. Esta proporcionalidad sería equivalente a velocidades constantes de los planetas, independientemente de su distancia al Sol. De hecho, así es como funcionarían las cosas si el espacio tuviera 2 dimensiones espaciales, pero el Sistema Solar del mundo real y sistemas similares simplemente no funcionan así: la velocidad de los planetas cercanos es mayor).