La relación entre la ley de Gauss y la ley de Coulomb y ¿por qué es importante que el campo eléctrico disminuya proporcionalmente a 1r21r2\frac{1}{r^{2}}?

La ley de Gauss y la ley de Coulomb son equivalentes, lo que significa que son una y la misma cosa. Cualquiera de ellos puede derivarse del otro. Las derivaciones rigurosas se pueden encontrar en cualquiera de los libros de texto de electrodinámica, por ejemplo, Jackson. Por ejemplo, considere una carga puntual q. De acuerdo con la ley de Coulomb, el campo eléctrico que produce viene dado por

$$\vec{E} = \frac{kq}{r^2}\hat{r}$$ , dónde $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$. Ahora, considere una esfera de radio $r$centrado en la carga q. Entonces, para la superficie $S$de esta esfera tienes: $$\int_{S}\vec{E}.\vec{ds} = \int_{S}\frac{kq}{r^2}ds = \frac{kq}{r^2}\int_{S}ds = \frac{kq}{r^2}(4\pi r^2) = 4\pi k q = \frac{q}{\epsilon_0}$$ , que es la ley de Gauss. Tenga en cuenta que si el $r^2$en la expresión del área de la superficie de la esfera en el numerador no canceló exactamente el $r^2$en el denominador de la ley de Coulomb, la integral de superficie en realidad dependería de $r$. Por lo tanto, no tendría el resultado de que la integral de superficie es independiente del área de la superficie, que es lo que implica la ley de Gauss. Aunque este resultado se ha derivado para una esfera, se puede derivar para cualquier forma y tamaño arbitrarios de la superficie, puede referirse a Jackson para, por ejemplo, la derivación rigurosa. Tenga en cuenta que al realizar estos pasos a la inversa, también puede derivar la ley de Coulomb a partir de la ley de Gauss, demostrando así que son equivalentes.

Frederic explica la relación entre la ley de Gauss y el inverso del cuadrado. Pero permítanme ampliar la cuestión fundamental.

En pocas palabras, si la ley del cuadrado inverso no se cumple, entonces el fotón debe tener masa y, por lo tanto, un tiempo de vida finito. Esto se explica bien en Electrodinámica clásica de Jackson (busque en el índice de Proca Lagrangian, en la segunda edición). El uso de un modelo de fotones masivos ha sido impulsado teóricamente y las observaciones resultantes permiten poner un límite superior a la masa de fotones. Si la masa del fotón fuera medible, tendríamos que repensar todo tipo de cuestiones fundamentales, especialmente en cosmología.

Esto es seco, pero está fácilmente disponible. http://en.wikipedia.org/wiki/Proca_lagrangian

Curiosamente, también existe una conexión profunda con las matemáticas puras; el residuo de una función es el término 1/z del desarrollo de Laurent. ¿Por qué? Eso es porque este es el único término que sobrevive para dar una contribución finita a una integral en el infinito. 1/r sería la fuerza asociada con un potencial 1/r^2.

El$1/|r|^2$la dependencia es fundamentalmente de naturaleza geométrica, derivada de nuestro mundo tridimensional.

A veces se dice que las ecuaciones diferenciales, incluso las PDE, tienen funciones de Green . Considere la ecuación diferencial

$$\nabla \cdot K = \alpha$$

para algún campo vectorial$K$y algún campo escalar$\alpha$. Esto es estructuralmente idéntico a la ley de Gauss. Esta ecuación tiene una función de Green$G$que satisface

$$\nabla \cdot G = \delta$$

dónde$\delta$es la función delta de Dirac. Esto describe, en esencia, una fuente puntual $\delta$generando un campo$G$.

La función de Green está dada por

$$G(r) = \frac{\hat r}{4\pi |r|^2}$$

Así, cualquier ecuación diferencial de la forma$\nabla \cdot K = \alpha$tiene la misma función de Green en 3d: una fuente puntual siempre genera el mismo campo básico.

En resumen, es una afirmación física decir$\nabla \cdot E = \rho/\epsilon_0$, pero una vez dicho esto, la ley de Coulomb, que describe una carga puntual, debe seguir inevitablemente debido a la estructura matemática de las ecuaciones y la naturaleza geométrica del espacio tridimensional.

(Por supuesto, eres libre de trabajar al revés).

Editar: crucialmente, en 2d y 1d, las funciones de Green son diferentes. Probablemente ya conozcas estas soluciones. La función de Green 2d es algo familiar del campo de una carga de línea uniforme, y tiene$1/|r|$dependencia. La función de 1d Green tiene una magnitud constante, pero cambia de dirección en los lados opuestos de la carga "puntual": esta es la característica básica de una lámina uniformemente cargada.

La ley de Gauss establece que la relación entre la carga y la constante dieléctrica viene dada por una integral de superficie (bidimensional) sobre el campo eléctrico:

$$\int E\cdot dA=\frac{Q}{\epsilon_0},$$

donde he omitido la notación vectorial por simplicidad. Se puede vincular a la ley de Coulomb asumiendo la simetría esférica del campo eléctrico y realizando la integración.

Al revés, puedes empezar asumiendo que la ley de Coulomb,

$$E=\frac{1}{4\pi}\frac{Q}{r^2},$$

se mantiene, y tome la divergencia en ambos lados de la ecuación. Esto conduce a la forma diferencial de la ley de Gauss:

$$\nabla\cdot E=\frac{\rho}{\epsilon_0},$$

dónde$\rho$es la densidad de carga. Para reproducir su forma integral, simplemente integre ambos lados de la ecuación. Los cálculos detallados se pueden encontrar en la página de wikipedia sobre la ley de Gauss . Si realmente quiere entender cómo se une todo (lo que supongo que es cierto, de lo contrario no preguntaría aquí), le recomendaría reproducir el cálculo por su cuenta. Luego, también puede intentar ver qué sucede si asume otras formas de la ley de Coulomb.