¿Cuál es mi estado en el contexto de la mecánica hamiltoniana?

Question

¿Cuál es mi estado en el contexto de la mecánica hamiltoniana?

Física
grados de libertad
mecanica clasica
formalismo lagrangiano
formalismo hamiltoniano

estilo

Apenas estoy comenzando a aprender las formulaciones de Lagrangian y Hamiltonian (actualmente en el capítulo 9 de Goldstein), así que tengan paciencia conmigo si mi problema es demasiado elemental.

Puedo ver el punto de ir de $n$ coordenadas generalizadas $q_i$ y sus velocidades $\dot q_i$ en la formulación lagrangiana para $2n$ coordenadas+momentos $q_i, p_i$ en la formulación hamiltoniana, en que

convierte el $n$ ecuaciones de Euler-Lagrange de segundo orden a la $2n$ ecuaciones de hamilton de primer orden
presta a la mecánica el lenguaje de las transformaciones canónicas como una herramienta para simplificar ecuaciones haciendo transformaciones tales que los momentos/coordenadas se vuelven cíclicos
conduce a conexiones entre simetrías y cantidades conservadas al observar el cambio en hamiltoniano bajo una transformación canónica infinitesimal "activa"

Sin embargo, al final del día, lo que queremos es una manera de describir el estado de un sistema como una función del tiempo, dado un contexto físico (una descripción del potencial, una comprensión de cómo se verán nuestras coordenadas y momentos generalizados). en términos de nuestro sistema y condiciones iniciales). En la formulación lagrangiana, nuestro estado es simplemente $q_i(t)$ , el $n$ coordenadas del sistema en función del tiempo. En la formulación hamiltoniana, sin embargo, obtenemos $2n$ trayectorias, $q_i(t)$ y $p_i(t)$ .

¿Son redundantes las trayectorias de momento? Si no lo son, ¿en qué parte de nuestro cambio de formulación se duplicó el tamaño de nuestro espacio de estado? ¿Por qué es importante el espacio de fase para describir el estado?

qmecanico

Comentario al post (v1): En mecánica lagrangiana, un estado (en algún instante

t

$t$ ) es un punto en

(q (t), \dot{q} (t)) \in T M

$(q(t),\dot{q}(t))\in TM$ , no es un punto

q (t) \in M

$q(t)\in M$ en el espacio de configuración.

estilo

No estoy muy familiarizado con el lenguaje de variedades y paquetes tangentes, pero creo que entiendo su punto. Sin embargo, puedo obtener la velocidad.

\dot{q} (t)

$\dot q(t)$ tomando la derivada de

q (t)

$q(t)$ en

t

$t$ , realmente no necesito

\dot{q} (t)

$\dot q(t)$ como una "coordenada" separada para mi estado.

Respuestas (1)

¿Cuál es mi estado en el contexto de la mecánica hamiltoniana?

Comentario al post (v1): En mecánica lagrangiana, un estado (en algún instante $t$ ) es un punto en $(q(t),\dot{q}(t))\in TM$ , no es un punto $q(t)\in M$ en el espacio de configuración.
No estoy muy familiarizado con el lenguaje de variedades y paquetes tangentes, pero creo que entiendo su punto. Sin embargo, puedo obtener la velocidad. $\dot q(t)$ tomando la derivada de $q(t)$ en $t$ , realmente no necesito $\dot q(t)$ como una "coordenada" separada para mi estado.

qmecanico · Answer 1

OP está comparando $n$ -soluciones dimensionales
$\begin{matrix} (1) & t \mapsto (q^{1} (t), \dots, q^{norte} (t)) \end{matrix}$ $t~\mapsto~ (q^1(t), \ldots, q^n(t)) \tag{1}$ a las ecuaciones de Lagrange. en el formalismo lagrangiano con $2n$ -soluciones dimensionales $\begin{matrix} (2) & t \mapsto (q^{1} (t), \dots, q^{norte} (t), {pag}_{1} (t), \dots, {pag}_{norte} (t)) \end{matrix}$ $t~\mapsto~ (q^1(t), \ldots, q^n(t),p_1(t), \ldots, p_n(t)) \tag{2}$ a las ecuaciones de Hamilton. en el formalismo hamiltoniano, y reflexionar sobre cómo puede haber una correspondencia biyectiva entre los 2 conjuntos de soluciones?

Respuesta: Para medir correctamente el número de soluciones, debemos contar el número de constantes de integración. Esto es lo mismo en ambos casos, a saber $2n$ .
Finalmente, abordemos la pregunta del título de OP (v2):
1. En la mecánica lagrangiana, un estado instantáneo del sistema (en algún instante $t_0$ ) es un punto $(q(t_0),v(t_0))\in TM$ .
2. En la mecánica hamiltoniana, un estado instantáneo del sistema (en algún instante $t_0$ ) es un punto $(q(t_0),p(t_0))\in T^{\ast}M$ .
Nótese que existe una aplicación biyectiva entre estados instantáneos del sistema (en algún instante $t_0$ ) y las condiciones iniciales del sistema (donde $t_0$ es el tiempo inicial).
Finalmente, OP pregunta si las velocidades generalizadas $v^1, \ldots,v^n$ , son variables independientes o no? Esto se explica, por ejemplo, en mi respuesta Phys.SE aquí .

Un par de aclaraciones: 1. En mecánica lagrangiana, si nuestro estado fuera, en cambio, $q(t) \in M$ , podríamos obtener $v(t) = \dot q(t)$ . Estoy de acuerdo en que necesitamos que nuestras condiciones iniciales sean algunas $\left(q(0), v(0)\right) \in TM$ , pero una vez que hemos resuelto para $q(t)$ , ¿por qué todavía necesitamos explícitamente $v(t)$ ? 2. En una línea similar, aunque la relación entre $p(t)$ y $q(t)$ no es tan directo en el formalismo hamiltoniano, tenemos $\dot q(t) = \frac{\partial H}{\partial p}$ , que es invertible. Ya que podemos obtener $p(t)$ de $q(t)$ , ¿por qué necesitamos que nuestro estado esté en $T^{\ast}M$ ?
Gracias por la respuesta que vinculó, que proporcionó un poco más de claridad. Sin embargo, todavía no entiendo por qué se necesitan trayectorias de cantidad de movimiento, o trayectorias de velocidad, después de haber resuelto la ecuación de movimiento y obtenido $q(t)$ .

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