Lagrangiano de dos partículas conectadas con un resorte, libres de girar

Esto es correcto, y deberías usar las coordenadas rectangulares hasta más tarde. Las ecuaciones de movimiento no son un desastre, porque el sistema tiene una ley de conservación del centro de masa, por lo que puede mezclar linealmente las variables:

$$X = m_1 x_1 + m_2 x_2$$ $$Y= m_1 y_1 + m_2 y_2$$

para el centro de masa y

$$x = x_1 - x_2$$ $$y = y_1 - y_2$$

cuales son las coordenadas relativas. En términos de esta transformación (que es algo que debería saber), el Lagrangiano para el CM se convierte en el de una partícula libre, mientras que el Lagrangiano para la coordenada relativa se convierte en el de una partícula 2d en un resorte de longitud finita.

$${m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2)\over 2} + {k (\sqrt{x^2 + y^2} - d)^2\over 2},$$

donde m es la masa reducida. Ahora puedes transformar las coordenadas relativas x,y en forma polar$r,\theta$y el$\theta$La ecuación expresa la conservación del momento angular. Esto se reduce a un problema 1d para r con un potencial.

$$V(r) = {k\over 2}(r-d)^2 + {A\over r^2},$$

donde A es una constante para un momento angular constante, una repulsión centrífuga efectiva más el potencial de atracción.

Tu lagrangiano tiene razón, pero es innecesariamente complicado. Para dos masas aisladas, siempre es mejor moverse al centro de masa y coordenadas relativas,

$$X=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2},$$ $$x=x_2-x_1,$$ y de manera similar para el $y$s. La energía cinética se expresa entonces usando la masa total $M=m_1+m_2$y la masa reducida $m$tal que $\frac{1}{m}=\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}$, y tu lagrangiano se vuelve un poco más simple: $$L=\frac{1}{2}M\left(\dot{X}^2+\dot{Y}^2\right)+\frac{1}{2}m\left(\dot{x}^2+ \dot{y}^2 \right)-\frac{1}{2}k\left(r-d\right)^2$$ para $r=\sqrt{x^2+y^2}$.