¿Por qué se requieren tres parámetros para expresar la rotación en 3 dimensiones?

Sabemos que en coordenadas esféricas ángulo θ y ϕ (dos ángulos) son suficientes para expresar la rotación tridimensional de la matriz. Pero para expresar matemáticamente la rotación como una matriz de transformación, necesitamos tres ángulos. Pero intuitivamente espero solo dos parámetros para la matriz de rotación basados ​​en el conocimiento de las coordenadas esféricas. ¿Que esta mal aquí?

Dos ángulos representan la dirección del eje (en coordenadas esféricas) alrededor del cual se va a realizar la rotación. El tercer ángulo es la magnitud de la rotación.

Respuestas (1)

Como lo señaló lemon, dos ángulos son suficientes para especificar una dirección en un sistema de coordenadas tridimensional, pero se necesita otro para especificar una transformación de coordenadas completa. Puede pensar en una transformación de rotación en tres dimensiones como un mapeo entre dos sistemas de coordenadas diferentes. Se necesitan dos ángulos para especificar la orientación relativa entre los dos ejes z, pero se necesita otro para especificar la orientación relativa del eje x. Sin este tercer ángulo, los ejes x e y podrían estar en cualquier lugar del plano perpendicular al nuevo eje z.

¿Cuántos parámetros se necesitarían para especificar completamente una transformación de rotación en R^4?
lo será norte C 2 = 1 / 2 norte ( norte − 1 ) para R norte ? entonces 6. Puedes hacer rotaciones en norte C 2 aviones en norte -espacio dimensional, que coincide con el número de generadores de SO(n).
@FireLizzard: las rotaciones son transformaciones ortogonales, es decir R ⋅ R T = 1 . Esto da norte ( norte + 1 ) / 2 se restringe a un norte × norte matriz que por lo tanto deja norte 2 − norte ( norte + 1 ) / 2 parámetros libres. Para norte = 4 uno tiene 6 parámetros. Tomemos, por ejemplo, el grupo de lorentz homogéneo, que no es más que la rotación habitual en un espacio (pseudo) euclidiano con 4 dimensiones (3 parámetros de impulso + 3 parámetros de rotación espacial).
En otras palabras, norte ( norte − 1 ) / 2 Se necesitan parámetros para especificar una rotación en norte -espacio dimensional. El único caso en que esto es igual a norte es N=3. Como se señaló anteriormente, se necesitan seis parámetros para describir la rotación en un espacio de cuatro dimensiones. También digno de mención: solo se necesita un parámetro para describir la rotación en un espacio bidimensional.
Impresionante explicación, gracias!
¿Por qué se requieren tres parámetros para expresar la rotación en 3 dimensiones?
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