Si los rayos divergentes nunca se encuentran, ¿por qué los rayos paralelos se encuentran en el infinito?

Si alinea su dirección de visualización paralela a un conjunto de líneas paralelas, verá visualmente que terminan en algún "punto" a una distancia infinita. El ejemplo típico son las vías del tren.

Si toma líneas que no son paralelas, sin importar la perspectiva que tome, el punto visual de intersección (si lo hay) siempre estará a una distancia finita y, por lo tanto, no en el infinito. Por ejemplo, el poste en la imagen está sesgado con respecto a los rieles de la vía, por lo que no importa cómo oriente su vista, nunca parecerá que se cruzan, ya sea en el infinito o no. O tome los rieles y las traviesas de madera. Forman ángulos rectos en puntos del espacio real, y no importa cómo te orientes, nunca puedes hacer que parezca que se cruzan en cualquier lugar que no sea en esos puntos. Las líneas no paralelas están definidas para no encontrarse en el infinito porque nuestra visión nos dice que no se encuentran en el infinito.

También tenga en cuenta que hay diferentes puntos en el infinito. El punto en el infinito en el que se cruzan las vías del tren es visualmente diferente de aquel en el que se cruzan todas las líneas verticales de esta foto. Y ambos son diferentes de aquel en el que se cruzan los lazos horizontales de madera. Esto está en desacuerdo con la respuesta de @ nu. Esto se debe a que hay muchas formas de construir matemáticamente puntos en el infinito dada una definición adecuada de "espacio real". Mi definición corresponde al espacio proyectivo , en lugar de una compactación de un punto.

El uso de muchos puntos diferentes en el infinito está justificado por nuestra intuición visual y también por la intuición óptica. Por ejemplo, normalmente idealizamos las estrellas como fuentes puntuales en el infinito. Pero hay muchas estrellas que aparecen visualmente en diferentes lugares del cielo. Esto es difícil de entender si solo hay un punto en el infinito, pero si construyes muchos puntos en el infinito, cada estrella puede tener la suya. De manera similar, si tiene un haz de rayos de luz paralelos y fija su ojo en el haz, verá la luz como una "estrella" en el único punto en el infinito en el que los rayos paralelos se cruzan, y no en un punto diferente en el infinito . . Si, en cambio, los rayos se cruzan en algún punto finito, verá una fuente de luz en ese punto, y no en ningún punto del infinito.

El infinito no es una distancia real o un número real. Se usa en matemáticas cuando se describen límites como un parámetro que aumenta sin límites.

Las líneas paralelas, por definición, en realidad nunca se encuentran en un plano (hay geometrías no euclidianas donde sí se encuentran, y estas son relevantes cuando se aplica la Relatividad General, pero no para la física clásica de los rayos de luz; podemos aproximar el espacio como un plano).

La distancia desde el espejo hasta el punto donde se encuentran los rayos es una función del ángulo entre los rayos. Cuanto menor sea el ángulo, mayor será la distancia. Dado que los ángulos pueden volverse infinitesimalmente pequeños (ignorando la Mecánica Cuántica), esto significa que las distancias pueden volverse infinitamente grandes. Las líneas paralelas tienen un ángulo de 0, por lo que el límite de la distancia cuando el ángulo se acerca a 0 es infinito.

En matemáticas, tendrás una ecuación con el ángulo en el denominador de una fracción. Dividir por 0 no tiene un significado real en aritmética, por eso usamos límites para manejarlo.

En la geometría euclidiana, las líneas paralelas nunca se encuentran. Esta es la definición misma de paralelo. Entonces, si el objeto está en el foco, los rayos reflejados nunca se encontrarán (en un mundo euclidiano ideal).

Entonces, ¿por qué decimos que "se encuentran en el infinito"?

Resulta que es solo una convención de notación. Para tomar prestado de otra respuesta mía :

Cuando los físicos dicen que algo "va al infinito", lo que quieren decir es "a medida que tomas el límite, este valor se hace más y más grande sin ningún límite, y eventualmente superará cualquier número que elijas".

En el sistema estándar de números reales (que se usa para la mayoría de las cosas en la física clásica), el infinito no es en realidad un número; es más como una abreviatura de notación. Entonces, una forma técnicamente más precisa de decir esto sería:

A medida que el objeto se acerca al foco, la imagen (donde se encuentran los rayos) se aleja cada vez más, sin límites. Puede hacer que la imagen esté tan lejos como desee acercando el objeto lo suficiente. Cuando el objeto está exactamente en el foco, los rayos son paralelos y, por lo tanto, nunca se encuentran.

"Los rayos se encuentran en el infinito" es solo una abreviatura de esto.

Ahora, a veces este tipo de cosas se modelan en geometría proyectiva , en lugar de geometría euclidiana. Y en geometría proyectiva, "infinito" es en realidad algo bien definido, y las líneas paralelas en realidad se cruzan en el infinito. Pero por la redacción de su pregunta, supongo que aún no ha sido introducido a la geometría proyectiva; Las clases introductorias tienden a apegarse a la geometría euclidiana agradable y familiar, donde "infinito" es solo un poco de azúcar sintáctico.

El hecho de que las líneas paralelas se encuentren en el infinito se vuelve bastante intuitivo al pensar en lo que realmente significa "infinito" en un plano 2d. Mientras que los números reales$\mathbb R$a menudo se compactan utilizando dos puntos, a saber$+\infty$y$-\infty$, para conservar su ordenación en la compactación, en 2 dimensiones, la ordenación no tiene mucho sentido (es$(2,1) > (1,2)$?), y es común una compactación diferente (la compactación de un punto de Alexandroff ), que solo agrega un solo punto,$\infty$.

Esta compactación se puede representar de la siguiente manera:

1. Identifique el plano a compactar con el$x$-$y$-plane y agrega una tercera coordenada$z$.
2. Coloque el centro de una esfera unitaria en$(0,0,1)$, para que toque el origen de la$x$-$y$-avión.
3. Une todos los puntos del plano con$(0,0,2)$, que es el punto más alto de la esfera, usando líneas, e identifica el punto donde una línea se cruza con el plano con el punto donde la misma línea se cruza con la esfera. Este mapeo$p: \mathbb R^2 \rightarrow \{\vec r \in \mathbb R^3 : |\vec r - (0,0,1)| = 1\} \setminus \{(0,0,2)\}$es continua y biyectiva y se conoce como proyección estereográfica .
4. Añadir el punto$(0,0,2)$al codominio y al punto$\infty$al dominio del mapeo y definir$p(\infty) = (0,0,2)$. Esta definición tiene sentido, porque para cada sucesión$(a_n)_n$en$\mathbb R^2$con$a_n \rightarrow \infty$como$n \rightarrow \infty$, obviamente se mantiene$p(a_n) \rightarrow (0,0,2)$.

Usando esta definición de infinito, es claro que dos líneas paralelas cualesquiera contienen el único punto$\infty$y así encontrarnos allí.

Editar: debido a que el OP sugirió que la respuesta es demasiado complicada, aquí hay algunas explicaciones adicionales:

• En este contexto, la "compactación" puede considerarse simplemente como "agregar puntos en el infinito". Si el conjunto es compacto o no, no es importante para tener una idea general.
• el codominio$\{\vec r \in \mathbb R^3 : |\vec r - (0,0,1)| = 1\} \setminus \{(0,0,2)\}$es la esfera de 2. sin el punto más alto.
• Que el mapeo en 3. sea continuo y biyectivo significa que conserva las partes de la estructura del plano mapeado que nos interesan, es decir, que los puntos que están "uno al lado del otro" permanecen así. El problema de simplemente decir "puntos uno al lado del otro" es que esto no es tan fácil de definir para los números reales, ya que entre dos cualesquiera de ellos hay infinitamente muchos más.
• Como explicó Koschi en los comentarios, todas las líneas infinitas se encuentran en el punto$\infty$. Se asignan a círculos que contienen$(0,0,2)$sobre la esfera. Los círculos correspondientes a líneas paralelas solo se tocan en ese punto. Sin embargo, si dos círculos se cortan allí, tienen que hacerlo en otro punto de la esfera, que se mapeará en un punto finito del plano.

"Infinito" aquí es en realidad un atajo para decir "crece más que cualquier valor que pueda nombrar cuando las condiciones se acercan a la condición X"; es decir, describe el comportamiento de un procedimiento iterativo o un algoritmo en lugar de ser un número estático (lo siento, soy programador).

En este caso, el procedimiento es hacer que el ángulo entre dos líneas que pasan por dos puntos en el plano 2D sea cada vez más pequeño. Cuando los puntos están a 1 m de distancia y el ángulo es de 90°, las líneas se cruzan a una distancia de 1/2 m. Cuando el ángulo se hace más pequeño, el punto de cruce se aleja más; no hay distancia que uno pueda nombrar que no pueda ser excedida haciendo el ángulo un poco más pequeño. Esto es lo que queremos decir cuando decimos que "líneas paralelas se encuentran en el infinito": la distancia del cruce excede cualquier límite cuando el ángulo se acerca a 0 (es decir, cuando las líneas se vuelven cada vez más paralelas).

El hogar natural de la geometría de las curvas planas es el plano proyectivo, donde todo es realmente mucho más simple. Por ejemplo, una curva de grado$n$y una curva de grado$m$siempre se encuentran exactamente$mn$puntos en el plano proyectivo (con algunas condiciones sobre cómo contar exactamente), lo que resulta extremadamente conveniente.

Las líneas son curvas de grado 1, por lo que dos líneas se encuentran exactamente en un punto. Las líneas se llaman paralelas si la línea en el infinito pasa por ese punto de intersección. Pero la "línea en el infinito" depende de tu sistema de coordenadas, por lo que no tiene sentido preguntar si dos líneas son paralelas hasta que hayas elegido las coordenadas. El mismo par de rectas puede ser paralela en un sistema de coordenadas y no en otro.

Cuando trabajas en el plano afín (euclidiano), estás eligiendo una línea en el infinito y descartándola. Por lo tanto, las líneas que se encuentran en el infinito (es decir, líneas paralelas) ya no se encuentran en absoluto.

Del mismo modo (y no directamente relevante para su pregunta, pero como otra ilustración de cómo el plano afín arroja información), una cónica (es decir, una curva de grado 2) se llama círculo si pasa por dos "puntos circulares" particulares. en el infinito Dos círculos se llaman concéntricos si son tangentes en ambos puntos circulares (aquí una tangencia cuenta como dos encuentros, por lo que las dos tangencias ocupan los cuatro puntos de intersección). Pero nuevamente, la identidad de los puntos circulares depende de su sistema de coordenadas, de modo que si una cónica es un círculo y si dos círculos son concéntricos, depende de su sistema de coordenadas. Y si tiras la línea al infinito, los círculos concéntricos no se encuentran en absoluto.