Números surrealistas y formas en "zig-zag" [cerrado]

Esta pregunta ha sido reformulada.

  1. ¿Existe algún experimento que pueda distinguir entre modelos matemáticos del espacio físico basados ​​en números reales y modelos basados ​​en otros tipos de números, por ejemplo, números surrealistas ? Si existe, ¿se ha realizado y cuáles son los resultados? El siguiente documento sobre arXiv proporciona algunas consecuencias físicas del uso de números surrealistas, pero ninguno de ellos parece poder probarse experimentalmente: Algunas observaciones matemáticas y físicas sobre los números surrealistas . Se han hecho preguntas similares en StackExchange con una redacción diferente: ¿ Por qué modelar el espacio con números reales? , Justificando el uso de números reales para medir la longitud
  2. Cuando las superficies (en el sentido matemático) se consideran en física, generalmente se supone que son lisas. Por ejemplo, una superficie de potencial electrostático idéntico alrededor de una partícula puntual se considera una esfera lisa. Si calculamos el área de superficie de esta esfera obtendremos el resultado conocido 4 π r 2 . Pero si la superficie es realmente un "zig-zag" (se dan ejemplos de "zig-zag" aquí: https://www.youtube.com/watch?v=D2xYjiL8yyE ) puede tener un área de superficie muy diferente. Incluso si para este ejemplo en particular la esfera potencial idéntica es una esfera real y no un "zig-zag", hay muchos otros ejemplos de superficies matemáticas en física (por ejemplo, horizontes de eventos, superficies de probabilidad idéntica en mecánica cuántica, etc.). ¿Hay algún experimento que pueda distinguir entre superficies lisas y superficies que son "zig-zags"? Aquí se ha formulado una pregunta ligeramente relacionada, pero diferente: ¿ Es la consideración del espacio-tiempo como una variedad uniforme solo una suposición?

Solo como referencia, la pregunta original se da a continuación:

En física se suele afirmar que no se debe aplicar una determinada parte de las matemáticas a menos que exista una confirmación experimental. Por esta razón tengo las siguientes dos preguntas:

  1. ¿Qué es una confirmación experimental de que el espacio físico se basa en números reales y no, por ejemplo, en números surrealistas ?

  2. ¿Qué experimento ha confirmado que todas las formas consideradas en física no son formas en "zig-zag" (por forma en "zig-zag" me refiero a una forma rodeada por un camino similar a los que se muestran aquí: https://www.youtube . com/watch?v=D2xYjiL8yyE ). ¿Hay algún ejemplo de una forma que resultó ser una forma de "zig-zag"? ¿No tiene la materia fundamentalmente forma de "zig-zag" debido a los átomos? Por esta razón, ¿tiene algún sentido hablar de áreas superficiales en física? Creo que algunos cálculos físicos se basan en el concepto de área de superficie.

La evidencia experimental sugiere que la realidad se basa en números racionales, no en números reales.
¿Sobre qué base está sugiriendo una conexión entre estas formas en "zig-zag" y los átomos?
@safesphere: ¿Puede dar más detalles, por favor?
@StephenG: Por ejemplo, si asumimos que los átomos tienen, por ejemplo, aproximadamente forma de bola (sé que no es cierto por muchas razones (QM incluido) pero no hace la diferencia, a menos que sean, por ejemplo, cuboides, etc.), uno no puede empacar bolas para crear una superficie plana. Entonces, si calculas el área de superficie de un cuerpo, no es el área de superficie de una figura plana, sino un poco más grande. En la vida real, la diferencia es aún mayor debido a las formas complicadas de las moléculas, los defectos y muchas otras razones.
@StephenG Entiendo que para muchas aplicaciones de áreas de superficie no hace ninguna diferencia (porque lo que realmente nos preocupa no es un área de superficie, sino, por ejemplo, un flujo), pero tal vez haya algunas para las que sí. Desafortunadamente, no puedo dar ningún ejemplo de esto en este momento.
@safesphere Estoy intrigado y también me gustaría obtener más información sobre esta audaz suposición. Parece contradecir que un triángulo rectángulo con lados unitarios tiene hipotenusa 2 . Si dibujo uno en una hoja de papel, parece bastante real.
@Sputnik No puedes medir un triángulo real con un símbolo abstracto como 2 . En realidad, mide usando una regla (por ejemplo, basada en láser) que da un resultado en una notación con alguna base, como binaria o decimal. Cuando expresas tu hipotenusa en una notación decimal, es un número racional. Cuando programa cualquier cosa en una computadora, usa números racionales. No hay números reales en la realidad física, solo números racionales. 1.414213562373095 es un número racional y nunca podrás medir tu triángulo con tanta precisión.
"La evidencia experimental sugiere que la realidad se basa en números racionales" Tonterías. Que registremos una precisión finita a partir de mediciones con instrumentos limitados no dice nada en absoluto sobre la naturaleza de la realidad. En particular, escribir una medida de 287.35 gramo no me dice que la muestra tuviera exactamente esa masa, sino que la determinación de los instrumentos de la masa de la muestra estaba mejor representada por esa cifra que por cualquier otra que pudiera haber anotado. En una balanza digital podría tener cualquier valor entre 287.345 y 287.355 gramo .
Esto puede ser de algún interés: arxiv.org/abs/1803.06824
Pregunta MO.SE relacionada: mathoverflow.net/q/63320/13917
Siento que esta pregunta, tanto antes como después de la reformulación, se basa en una premisa falsa. Hay muchos indicios de que la imagen de la variedad diferenciable del espacio-tiempo se rompe en algún punto, posiblemente alrededor de la escala de Planck. Si se descompone en cualquier escala, entonces la física con números reales o surrealistas es solo una aproximación, y elegir uno sobre el otro es una cuestión de conveniencia/familiaridad, no de corrección.
La pregunta es si las teorías cuánticas (por ejemplo, la teoría cuántica de campos o las teorías de cuerdas) usan números reales, superficies lisas, etc. Incluso si el espacio-tiempo no es una variedad diferenciable, son, por ejemplo, cuerdas, bucles o lo que sea, los objetos básicos de la teoría. ¿Están modelados utilizando objetos reales (y no, por ejemplo, surrealistas) y/o suaves (y no, por ejemplo, en zig-zag)?

Respuestas (2)

No he visto a nadie que afirme que no debe usar un tipo particular de matemáticas a menos que haya razones experimentales para hacerlo; después de todo, la relatividad general (usando el espacio-tiempo de Riemann) se introdujo mediante experimentos mentales y luego se encontró experimentalmente para describir la realidad. En cambio, lo que la gente tiende a presionar es que no se deben introducir matemáticas más complejas de las necesarias para describir lo que podemos observar (o pensar que podemos observar con un experimento futuro). Usar números surrealistas en física está complicando demasiado las cosas. Esta es básicamente la navaja de Occam.

Tenga en cuenta que "simple" a veces se cuestiona. ¿Funciona realmente la física con números reales continuos (o complejos), o con números naturales o racionales contables aparentemente más simples? ¿Quizás solo números computables? Aquí, lo que realmente importa es si estas elecciones de teoría realmente marcan una diferencia que podría notarse empíricamente y si conducen a teorías más útiles. La mecánica cuántica "ganó" al mostrar que la fragmentación de la cuantización otorgaba nuevas propiedades que los espectros continuos no tenían, y estas propiedades resultaron ser medibles.

Sí, mi argumento debe basarse en la navaja de Occam: una parte de las matemáticas no debe aplicarse a menos que (1) haga predicciones empíricas correctas y (2) simplifique la teoría. No estoy seguro de si introducir, por ejemplo, números surrealistas o asumir líneas en "zig-zag" puede crear predicciones empíricas comprobables que difieran de las definiciones habituales, pero encontré el siguiente artículo mencionado en la actualización de la pregunta.

Una teoría física se compone aproximadamente de dos objetos: términos teóricos y términos observacionales [1] . Los términos teóricos se componen de todas las entidades que no se pueden medir directamente, como la función de onda, la energía, etc., mientras que los términos observacionales son los que se pueden medir directamente, como la longitud.

Por lo que puedo decir, los términos observacionales son siempre números reales, e incluso entonces siempre términos racionales. Realmente no puedo medir una cantidad infinita en algún aparato, ni una cantidad con precisión infinita.

Por otro lado, los términos teóricos no tienen limitación en cuanto a su composición. Y, de hecho, he visto algunos intentos de usar una variedad de ellos, como la teoría cuántica de campos construida a partir de números hiperreales (aunque no son números surrealistas, no estoy seguro de que tenga muchos beneficios). La parte importante es que existen las reglas de correspondencia (la asignación de términos teóricos a términos observacionales), de modo que si tiene términos teóricos que no son números reales, se asignan correctamente a observables reales.

Gracias por su respuesta. Creo que las cantidades directamente medibles ni siquiera son números reales, sino solo números racionales. Pero es posible que una teoría haga necesarios los números reales o, por ejemplo, los números surrealistas en algún nivel más profundo por diferentes razones. Por ejemplo, si asumimos solo números racionales, las simetrías espaciales podrían romperse, no podemos aplicar el cálculo, etc. Me pregunto si hay razones más profundas para, por ejemplo, números surrealistas, pero es una pregunta aparte.
Nunca es necesario . Siempre existe una forma de que una teoría se deshaga de los términos teóricos (la reaxiomatización de Craig). Puede ser más práctico usar números surrealistas, pero que yo sepa, no puedo ver ninguna aplicación práctica para ellos que no se pueda hacer con un sistema más simple.
Asignar medidas a la categoría de número racional es cometer el error de ignorar la incertidumbre que las acompaña. Entiendo que "escribimos un número de fracción decimal terminal, por lo que es un racional". Pero, de hecho, debemos entender que cada medida tiene una incertidumbre: estos no son números simples sin importar cómo los tratemos en el aula, y cuando comiences a filosofar sobre su significado, debes recordar eso.
@dmckee Creo que está claro que lo que se puede observar son los resultados de las mediciones mediante el uso de algunos dispositivos de medición. Todos estos resultados son, a lo sumo, racionales. En mi opinión, la teoría de las medidas y los errores también forma parte del modelo.
@dmckee Tomando la geometría simple como ejemplo, una teoría física de la geometría física completamente y correctamente establecida (no puramente matemática) nos dirá, por ejemplo, que si dibujamos una línea de (1,00 ± 0,05) cm (medida con una regla estándar) y construimos un círculo con esta línea como radio (usando una herramienta suficientemente precisa), y luego medimos la circunferencia del círculo, el resultado será (6.3±0.4) cm (medido con un opisómetro de suficiente precisión).
@dmckee En otras palabras, los datos de entrada son racionales con cierta incertidumbre. La teoría produce algunos resultados basados ​​en las entradas. Otra parte de la teoría (teoría de la propagación de la incertidumbre) nos dice qué tan precisas son estas predicciones. Luego medimos el resultado y lo comparamos con las predicciones y verificamos si está dentro del rango de incertidumbre.
Además, la circunferencia del círculo no se puede conocer de esa manera sin asumir la geometría del espacio.
@MateuszGrotek Nuevamente, simplemente porque la medida registrada está escrita en términos de racionales no significa (a) que una medida sea racional (es una distribución) o (b) que la cantidad física subyacente sea racional (usted no sabe cuyo valor en el rango que permite nuestro conocimiento es correcto, y los irracionales están entre los permitidos (de hecho, hay más de ellos que racionales).
@dmckee Creo que usas la palabra "medida" con un significado ligeramente diferente al que yo uso. Ambos están bien, pero debemos estar de acuerdo con los términos si queremos discutirlos primero. Para mí, la medición es el valor que muestra un instrumento junto con la precisión del instrumento. Ambos estamos de acuerdo en que esto es y solo puede ser racional.
@dmckee Significa que los datos de entrada para los cálculos en la teoría también son racionales. La "cantidad física subyacente", desde mi perspectiva, parece ser un término teórico, no un término observacional. Estoy totalmente de acuerdo en que los irracionales están en el rango, pero los surrealistas también lo están.
@Slereah En realidad, la teoría que tenía en mente supone que el espacio es cercano a la euclidiana en pequeña escala, por lo que esta medida puede falsear la teoría si resulta que la circunferencia no es (6,3 ± 0,4) cm sino otra cosa. Este ejemplo de toybox también es bastante bueno por esta razón.
@Slereah Todavía no he respondido a su comentario original, así que déjeme hacerlo ahora. Tiene razón en que no son necesarios los términos teóricos y pueden eliminarse, por ejemplo, mediante la reaxiomatización de Craig. Pero también hay una cuestión diferente. Si modificamos la teoría cambiando algunas partes de ella, por ejemplo, números reales a surrealistas, podría resultar que la nueva teoría dé algunos resultados diferentes para los observables.
@Slereah Por supuesto, puede eliminar los términos teóricos de ambas teorías en cuestión (con reales y surrealistas), pero eso no significa que las teorías resultantes serán las mismas. Por eso tiene sentido considerar qué impacto tienen los surrealistas para las observaciones, y eso es en realidad parte de mi pregunta original, porque pregunté si hay una confirmación experimental. Probablemente debería hacer una pregunta diferente. ¿Hay algún experimento que pueda distinguir la teoría con reales de la teoría con surrealistas? Si no, entonces su razonamiento es correcto y no importa. Pero tal vez lo haya.
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