Demuestra matemáticamente que una rueda redonda rueda más rápido que una rueda cuadrada

Centro de masa

El centro de masa de una esfera/disco uniforme está ubicado en el centro de esa esfera/disco (esto puede parecer trivial, pero solo es cierto para los casos en los que la distribución de masa es esféricamente simétrica). El centro de masa se puede ver como una representación colectiva de todo el cuerpo por un solo punto (tenga en cuenta que esto no es estrictamente cierto, pero para nuestros propósitos, ayudará a construir una intuición básica). De manera similar, el centro de masa de un cubo/placa cuadrada uniforme está en el centro del cubo/placa cuadrada.

Energía potencial gravitacional

La energía potencial gravitacional de un objeto está dada por

dónde$m$es la masa del cuerpo,$g$es la aceleración gravitatoria y$h_{\text{COM}}$es la altura del centro de masa. en ecuacion$(1)$, hemos supuesto que la energía potencial es$0$a nivel del suelo, es decir$h_{\text{COM}}=0$. Ahora, para levantar un cuerpo tal que su centro de masa se mueva desde una altura$h_1$a una altura$h_2$, necesitamos hacer un trabajo que sea igual al cambio en la energía potencial del cuerpo:

cuadrado rodante

Como puede ver en el GIF a continuación, el cuadrado rodante tiene una especie de movimiento de rotación tambaleante. Tambaleante en el sentido de que su centro de masa sube y baja, sube y baja, y sigue.

^{Fuente de animación}

Entonces, como calculamos anteriormente, necesitamos hacer algo de trabajo para elevar la altura del centro de masa del cuadrado (hay un ángulo específico,$45^{\circ}$en este caso, hasta el cual necesitas rotar el cuadrado si quieres que ruede. Si gira el cuadrado en un ángulo menor que eso, entonces el cuadrado retrocederá). Y una vez que el centro de masa alcanza la altura máxima, cae al otro lado por sí solo y la energía cinética ganada por el cuadrado durante la caída se disipa como sonido y energía térmica debido a la naturaleza inelástica de la colisión del cuadrado con el terreno. Ahora tendría que volver a elevar el centro de masa del cuadrado para hacerlo rodar. Este proceso implica continuamente dar energía para elevar el centro de masa y luego perder la energía debido a que el cuadrado vuelve a caer al suelo. Y esto hace que sea muy difícil que ruede un cuadrado.

¿Por qué sufre colisiones inelásticas?

El cuadrado es propenso a perder más energía debido a las colisiones inelásticas en comparación con un disco circular debido a un área más grande de la superficie que está en contacto con el suelo. Esto es similar al caso de un neumático de bicicleta. Cuando el neumático está inflado, es esférico y, por lo tanto, tiene un área más baja en contacto con el suelo, lo que resulta en una menor pérdida de energía, mientras que un neumático desinflado tiene un área más grande en contacto con el suelo, lo que lo hace más propenso a colisiones inelásticas.

círculo rodante

Cuando rueda un círculo/esfera, la altura del centro de masa permanece igual durante todo el movimiento debido a la simetría de la forma. También puedes ver esto en el GIF a continuación.

^{Fuente de animación}

Esto significa que nada de la energía que proporcionamos se desperdicia cambiando la altura del centro de masa. Y toda la energía se utiliza para acelerar la esfera/círculo, lo que nos hace sentir fáciles de rodar más rápido.

¿Por qué su centro de masa permanece a la misma altura?

En aras del rigor, demostremos que un círculo es la única forma 2D que tiene la propiedad de que su centro de masa permanece a la misma altura cuando rueda. Primero supongamos que existe otra forma (no un círculo) que también tiene esta propiedad. Esto implica que no importa cómo pongas esa forma en el suelo (por supuesto, no podemos dejarla plana), el centro de masa siempre permanecerá a una altura constante. Lo que significa que la distancia entre el suelo y el centro de masa siempre será la misma. Lo que implica que la distancia entre el punto límite que toca el suelo y el centro de masa siempre será la misma. Sin embargo, esto es cierto para todos los puntos límite, ya que se puede hacer que todos los puntos límite toquen el suelo (nuevamente estamos asumiendo una forma convexa). Esto implica que todos los puntos límite están a la misma distancia del centro de masa. Esto significa que los puntos límite se encuentran en un círculo cuyo centro es el centro de masa del cuerpo. Y así la forma deseada no puede ser otra cosa que un disco circular.

Momento de inercia

El momento de inercia también tiene un papel que desempeñar aquí. Se puede demostrar que para un área constante dada de cualquier forma 2D, un disco circular tendría el momento de inercia más bajo (suponiendo que todas las formas estén hechas de los mismos materiales/densidad). Esto significa que sería un poco más fácil hacer rodar un disco circular que cualquier otra forma 2D. Un argumento similar vale para las formas 3D, sin embargo, aquí mantendríamos el volumen (el análogo 3D del área) constante mientras variamos la forma. Pero aquí, teóricamente, un cilindro con un radio infinitesimalmente pequeño y una longitud infinitamente grande tendrá el momento de inercia más bajo.

Apéndice

Para superficies especiales, incluso puedes hacer que un cuadrado gire como una esfera. Vea el GIF a continuación.

^{Fuente de animación}

Como puedes ver, si usamos una superficie que está formada por curvas de Catenaria invertida , podemos incluso hacer un rollo cuadrado. Para ver por qué esto es cierto, puede consultar la derivación aquí .

Además, como sugirió esta respuesta, las curvas de ancho constante también son buenas candidatas cuando se trata de rodar. Hablando estrictamente, el círculo no es la única forma que puede rodar sobre una superficie plana. Sin embargo, es mucho mejor que un cuadrado cuando se trata de rodar.

En una condición ideal sin deslizamiento, la pelota sigue rodando para siempre después de una patada o empujón inicial. Después de que esté rodando, no necesita aplicar fuerza externa, no necesita ninguna energía externa.

El bloque no puede seguir rodando. Para que gire, debe levantar el centro de masa en$\frac{\sqrt{2}-1}{2} a$($a$es la longitud de un lado), que requiere$\frac{\sqrt{2}-1}{2} mga$energía. Después de girarlo 45 grados, puede volcarse hacia el otro lado, moviéndose otros 45 grados. Cuando el bloque golpea el suelo, pierde su energía cinética en energía térmica y necesita ser levantado nuevamente.

En términos energéticos, uno no necesita energía en absoluto, mientras que el otro necesita una cantidad finita de energía en cada ciclo. Esta es una diferencia entre finito y ninguno . Como mencionaste, si sigues empujándolos con la misma fuerza, la pelota seguirá acelerando. Intentar acelerar el bloque sería muy frustrante. Entonces, en términos de velocidad a largo plazo, tienen una diferencia de velocidad infinita (olvídate de Einstein por ahora) y finita .

¿Cómo comparas infinito y finito? ¿Cómo se compara finito y ninguno?

Digamos que tengo estos objetos del mismo tamaño...

Primera contrapregunta: ¿Qué significa "igual tamaño"?

• El diámetro del círculo es igual a la longitud de la arista del cuadrado.
• el cuadrado y el circulo tienen la misma area

Demuestra matemáticamente que los objetos redondos ruedan más rápido

Incluso en los primeros 90 grados donde no tenemos colisiones (ver la respuesta de David Browne) el círculo es más rápido:

Supongamos que la longitud de la arista del cuadrado es$a$.

Entonces el momento de inercia del cuadrado que gira alrededor de su borde es:

El tiempo necesario para que el cuadrado gire un ángulo de$\alpha$ahora se puede calcular como:

Los símbolos tienen el siguiente significado:

Solo veamos el tiempo necesario para los primeros 90 grados de rotación, lo que significa que el cuadrado se mueve la distancia.$a$:

Ahora veamos el círculo con la misma área que el cuadrado:

Esto significa que el radio de este círculo es$r=\frac{a}{\sqrt\pi}$.

El momento de inercia es$J=\frac32mr^2=\frac3{2\pi}ma^2$. El círculo debe girar un ángulo de$\alpha=\sqrt\pi$moverse una distancia de$a$.

Así que el tiempo necesario para moverse una distancia de$a$es:

Y ahora podemos comparar el tiempo necesario:

Esto significa que el círculo necesita menos tiempo para rodar una distancia de$a$.

Los objetos circulares no son los más rápidos.

Cualquier otra forma convexa suave puede rodar más rápido que un círculo. Como ejemplo aleatorio, esta forma (imagen encontrada en wikimedia) puede rodar más rápido que un círculo:

Comience en la orientación que se muestra. Esta es la orientación donde su centro de masa es más alto. Entonces, por lo general, rodará más rápido que el círculo debido a que ha convertido parte de su energía potencial en energía cinética. Sólo en aquellos instantes en que su centro de masa haya vuelto a la altura original, estará yendo tan lentamente como el círculo.

Incluso su ejemplo de un cuadrado irá más rápido que el círculo, si reemplaza los lados planos con lados ligeramente abultados y redondea ligeramente las esquinas, y lo gira 45 ° para que comience "parado en una esquina".

Matemáticamente, un círculo es la forma única de menor perímetro al área cerrada . Por lo tanto, dado que cada vez que gira recorre una distancia igual a su perímetro, tarda menos tiempo en girar en comparación con cualquier otra forma.

Junto con el hecho de que el eje nunca se mueve hacia arriba y hacia abajo, esto implica que requiere la menor cantidad de fuerza para viajar (en una configuración ideal).

Hay dos diferencias entre el círculo y el cuadrado que causan. El primero es el momento de inercia. En el espacio libre, un par dado en el cuadrado y la rueda no le dará la misma aceleración angular. La ecuación es Torque = Momento de inercia X aceleración angular. El momento de inercia se puede calcular o encontrar en una tabla.

Sin embargo, la razón principal por la que hay una diferencia entre las dos ruedas es que cuando pasas de girar sobre un vértice a otro vértice, hay una pérdida masiva de energía a medida que golpeas el neumático cuadrado contra el suelo cada uno. tiempo se acuesta con un lado paralelo al suelo. Luego, el impulso y el rebote lo llevan a medida que gira sobre el siguiente vértice.

Si olvida su torque externo por un momento y considera lo que sucede cuando cambia el punto de rotación, verá que básicamente necesita tomar un objeto que tiene su centro de masa moviéndose en diagonal hacia abajo y hacia adelante a un movimiento con el centro de masa moviéndose hacia arriba y hacia adelante. Para hacerlo, debe ejercer una fuerza en el punto de contacto que reducirá el impulso de avance de la rueda cuadrada. El problema es que cualquier solución exacta dependerá de muchas suposiciones sobre cómo ocurre la transición de la rotación de un vértice al otro. Cada suposición le dará una respuesta diferente. No hay una respuesta "universal". Dependerá de las propiedades de tu neumático.

Una solución realista probablemente requeriría un modelo de elementos finitos para ver cómo se deforma el neumático cuando toca el suelo, lo que puede conducir a la pérdida de energía a través de la histéresis si el neumático está hecho de caucho. Pero incluso para ruedas perfectamente rígidas, habrá cierta pérdida de impulso.

Un enfoque que puede funcionar es suponer que hay algún coeficiente que describe cuánta energía pierdes en cada "paso", cuando golpeas el suelo. Calcular este coeficiente a partir de primeros principios probablemente no sea necesario para su propósito.

Una buena discusión de todo esto se puede encontrar en Mcdonald, Kirk. (2008). Lápiz hexagonal rodando sobre un plano inclinado. Dinámicas regulares y caóticas. 13. 332-343. 10.1134/S1560354708040072. Esto parece estar disponible gratuitamente del autor en http://www.hep.princeton.edu/~mcdonald/examples/pencil.pdf . Se relaciona principalmente con los hexágonos, pero se tratan otras formas y los conceptos principales siguen siendo los mismos.

Por cierto, no sé si te inspiraste, pero Mythbusters hizo ruedas cuadradas. https://www.youtube.com/watch?v=CIN8Q_4iaxU funciona en este momento, pero una búsqueda adecuada en Google puede revelar qué sucedió si el enlace está roto.

Ignorando las pérdidas de energía, colocamos el círculo y el cuadrado cada uno en una línea plana inclinada separada, con sus centros de masa a la misma altura sobre el suelo horizontal. El cuadrado está sobre uno de sus lados y el ángulo de inclinación de ambas rectas (que son las rectas de referencia para los ángulos que vienen) es$\frac{1}{4}\pi$(o solo un poco por encima).

Para comparar las velocidades lineales de un cuadrado 2d y una rueda 2d, sostenido por una línea en un campo de gravedad, cuando una fuerza (en este caso proporcionada por la gravedad, y lo mismo para la rueda y el cuadrado: apuntando paralelo a la recta inclinada con un valor$\sqrt{\frac{1}{2}}\times 10=7N$) se aplica sobre ellos, es lógico suponer que el cuadrado y la rueda tienen la misma masa,$m$(y densidad de masa). Esta condición significa que cada lado del cuadrado,$S_s$, es$\sqrt{\pi}$veces el radio de la rueda,$R_w$. Es decir$S_s=\sqrt{\pi}R_w$. la mitad de la diagonal del cuadrado,$D$, tiene valor$D=\sqrt{\frac{1}{2}\pi}R_w$.

Fórmulas útiles:

Momento de inercia para la rueda y el cuadrado (el cuadrado gira alrededor de un eje perpendicular a uno de sus puntos angulares mientras que el cuadrado gira alrededor de los puntos momentáneos de contacto, por lo que podemos usar el teorema del eje paralelo ) :
$I_w=(\frac{1}2+1)m{R_w}^2=\frac{3}{2}m{R_w}^2$
$I_s=(\frac{1}{6}+\frac{\pi}{2})m{S_s}^2=(\frac{1}{6}+\frac{\pi}{2})\pi m{R_w}^2$

Los pares para la rueda y el cuadrado (la fuerza de la gravedad tirando del CM tanto de la rueda como del cuadrado):
$\vec{\tau}_w=-\vec{F_g}\times \vec{R_w}$estaban ambos$-\vec{F_g}$y$\vec{R_w}$comienzan en el punto de contacto entre la línea en la que se encuentran y la rueda y siempre son perpendiculares entre sí. El (pseudo) vector$\vec{\tau}_w$apunta a la pantalla y su longitud es$7mR_w$.
$\vec{\tau}_s=-\vec{F_g}\times\vec{D}$, dónde$-\vec{F_g}$y$\vec{D}$comience en el punto de contacto entre el cuadrado y la línea. En este caso, ambos vectores tienen un ángulo$\theta$entre ellos variando entre los ángulos$\frac{1}{4}\pi$y$\frac{3}{4}\pi$. De nuevo, el (pseudo)vector de torsión apunta a la pantalla y su longitud es$7m\sqrt{\frac{1}{2}\pi} R_w sin\theta$. la integral de$sin\theta$entre el ángulo$\frac{1}{4}\pi$y el ángulo$\frac{3}{4}\pi$es$1,4$por lo que el par se reduce a$7m\sqrt{\frac{1}{2}\pi} R_w 1,4$.
Entonces el torque ejercido sobre el cuadrado${\tau}_s$es sobre$1,75=1,25(=\sqrt{{\frac{1}{2}}{\pi}})\times 1,4$tan grande como el par en la rueda${\tau}_w$:${\tau}_s= 1,75{\tau}_w$

Ahora,$I_s=3,6I_w$

Entonces para el valor de la aceleración angular de la rueda y el cuadrado tenemos:
1)${\omega}'_w=\frac{\tau_w}{I_w}$
2)${\omega}'_s=\frac{1,75\tau_w}{3,61{I_w}}=0,48 {\frac{{\tau}_w}{I_w}}$

Tanto el círculo como el cuadrado se mantienen en su lugar mediante algún dispositivo (puedes pensar por ti mismo cómo se hace esto) que los liberará presionando un botón. Esto es necesario porque está claro que el círculo ya comienza a moverse cuando la línea está un poco inclinada con respecto a la línea horizontal.

Ahora presiona el botón. El centro de masa del cuadrado se moverá así en la curva catenaria como se muestra en la primera respuesta anterior (con algunos gráficos agradables), la diferencia es que la curva catenaria tiene un ángulo de 45 grados con la horizontal, por lo que el centro de la masa nunca se mueve hacia arriba. Se mueve 45 grados en un círculo con radio$\sqrt{\frac{\pi}{2}}$veces el radio del círculo (la mitad de la diagonal del cuadrado) entre 0 grados horizontalmente y 45 grados hacia abajo (paralelo a la línea inclinada). Después de lo cual se repite el mismo cuarto del círculo.

Podría estar claro que cuando comparamos las aceleraciones angulares de una rueda (ecuación 1) arriba y de un cuadrado con la misma masa (ecuación 2) arriba) que la aceleración angular de la rueda es casi dos veces mayor que esa para el cuadrado, por lo que la rueda llega primero en la línea.
Los automóviles usan ruedas en lugar de cuadrados porque las ruedas tienen la forma de darles la velocidad angular más alta con el mismo par. Y, por lo tanto, la forma más fácil de darle velocidad lineal al automóvil mediante algún mecanismo de transformación. Para alcanzar una determinada velocidad, un coche con ruedas necesita menos combustible.

Aparte, supongamos que la línea elevada de 45 grados se transforma en una curva catenaria como se muestra en la primera pregunta. En este caso, la rueda y el círculo cambiarán de lugar en la medida en que se pregunte cuál de los dos llega primero (y por lo tanto tiene la velocidad lineal más alta). Obviamente, es cierto que para la mayoría de las masas formadas arbitrariamente no existe tal curva de catenaria. Es solo un subconjunto muy pequeño de figuras 2d, como polígonos o círculos con partes iguales de círculos igualmente espaciados pegados.

Me gustaron mucho las respuestas de FakeMod y LukeLYU. Esta es una extensión y generalización.

Sigamos con las formas idealizadas y supongamos que no se introduce energía adicional más allá de la necesaria para iniciar el movimiento.

Cuando levantas el cuadrado para pararse en su esquina, no seguirá rodando automáticamente. Tiene que usar parte de su energía para pasar ese punto. Esto se debe a que la esquina es un punto especial que corresponde a un punto de inflexión (equilibrio metaestable) en el PE. Esta curva de potencial tendrá una serie de puntos tales como los rollos cuadrados. Por simetría, para un cuerpo uniforme, todos estos puntos de inflexión son equivalentes en el sentido de que la forma de la curva de potencial "cerca" del extremo local es la misma.

De manera similar, para que las superficies planas continúen rodando, se debe gastar energía para pasar y, a medida que pasa por cada punto, perderá energía (solo que aquí la pérdida potencial es más profunda). moviéndose más lejos.

Para un círculo no existe tal punto de inflexión. Todos los puntos de la superficie son equivalentes y como no hay un punto especial, no hay un extremo. Una vez que comenzó a rodar, continuará rodando sin aplicar ninguna fuerza adicional. (Newton 1)

Podemos extender este argumento a los polígonos. Champfer de cada esquina a la misma cantidad, entonces no solo cada vértice corresponde a un punto de inflexión, también lo hacen cada una de las nuevas superficies planas que hemos creado. De nuevo por simetría, pero en cada punto de inflexión se pierde energía, pero la perderá más rápido.

[Sin embargo, si continúa este proceso hasta la saciedad, ¡no obtendrá un círculo! Dado que el grupo que representa las traslaciones de un círculo es continuo, SO(2), y el que representa las de un n-ágono es finito (D2n), no se obtiene la misma dinámica.]

Al explotar argumentos similares, podemos considerar análogos n-dimensionales, pero debemos tener cuidado: por ejemplo, un cilindro en 3D tiene un eje preferido (su longitud) y no es un análogo de un círculo en este sentido, sin embargo, un 3-esfera es y tendrá una dinámica similar, porque no tiene simetría continua.

Su pregunta no dice nada sobre la presencia o no de un campo potencial gravitatorio u otro que he asumido que existe. Si no existe tal campo y no hay pérdidas, por supuesto, sus objetos rodarán para siempre.

La velocidad con la que se mueven los objetos depende, por supuesto, del impulso aplicado. Sin embargo, con un campo potencial, incluso en un entorno sin fricción, todos los n-ágonos perderán energía y se detendrán debido a las pérdidas en PE.

Hay un factor que no creo que nadie haya mencionado hasta ahora. Se ha señalado que a medida que el cuadrado gira, oscila hacia arriba y hacia abajo. Al moverse hacia arriba, la fuerza es proporcionada por el par que lo impulsa. La fuerza requerida para acelerar el cuadrado hacia arriba dependerá de su velocidad de rotación. Cuanto más rápida sea la rotación, más fuerza se requiere. Cuando nos movemos hacia arriba, podemos suponer que esta fuerza puede ser suministrada por el par que impulsa la rotación. Sin embargo, cuando se mueve hacia abajo, la fuerza es proporcionada por la gravedad. Obviamente, esto está limitado por la constante gravitacional. Entonces, a medida que el cuadrado gira más rápido, llegará un punto en que la gravedad no será suficiente para mantenerlo en contacto con el suelo. En este punto, el par en el cuadrado ya no se traducirá en movimiento hacia adelante. Entonces, por encima de este límite, incluso suponiendo que no haya pérdidas debido a colisiones no elásticas,

Si permite un cubo de engranaje de estrella excéntrico como un motor Wankle, entonces ninguno tiene un centro de masa móvil. El cuadrado se desgastaría más rápido debido a la carga desigual (el mismo problema que los sellos del motor Wankle).

Creo que en perfectas condiciones, el cuadrado y el círculo ruedan A LA MISMA VELOCIDAD. La razón de esto es que en la vida real, un círculo rodará más rápido que un cuadrado por razones de fricción: la energía cinética del cuadrado se perderá más rápido que la energía del círculo debido a su forma y se convertirá en energía térmica. Pero en perfectas condiciones, sin rozamiento, no tiene por qué el cuadrado rodar más lento que el círculo, salvo que la energía que le apliques sea menor de la necesaria para que gire 45 grados, pero si no es así, la energía potencial se convertirá en energía cinética y viceversa para siempre, moviendo el cuadrado con menos regularidad pero en un promedio que es igual al círculo. Creo que esta pregunta es un problema de intuición de cómo suceden las cosas en "condiciones perfectas",

En el centro de esos objetos, agrego un par angular positivo igual (solo lo suficiente para hacer que el neumático cuadrado avance).

No aplica torque en el centro, un solo punto. Requiere al menos dos puntos. Este es un detalle importante. Porque la segunda fuerza aplicada al objeto es una fuerza de fricción. Esta fuerza de fricción será diferente para las ruedas redondas y cuadradas. Con una fuerza de fricción diferente, el objeto experimentará un impulso diferente y obtendrá un momento de traslación diferente (el impulso estará relacionado con la diferencia entre las fuerzas de fricción y de tracción multiplicadas por el tiempo)

Para la rueda redonda, la fuerza de fricción será menor porque se necesita menos torsión para hacer que el círculo se mueva y gire. Esta diferencia se puede calcular considerando el momento de inercia.

Cálculo por momento de inercia

El momento de inercia alrededor del centro es para cuadrado y redondo:

Como se ve en la imagen de abajo para una velocidad dada en el centro y una rotación dada, el cuadrado no tiene una velocidad continua en la dirección horizontal (lo que irá junto con variaciones de fricción y rebote, pero supongamos una situación perfecta donde este no conduce a la disipación de energía).

Podemos calcular la velocidad promedio relacionando la circunferencia de la rueda ($4D$para la plaza y$\pi D$para la ronda).

Entonces, la relación relativa de la velocidad horizontal promedio$v_h$y la velocidad angular será

El cuadrado se mueve más rápido que esta velocidad porque está haciendo un camino más largo. para una distancia de$D$en dirección horizontal (un cuarto de giro) sigue un camino de 1 cuarto de círculo con radio$\sqrt{0.5}D$y la longitud es$\sqrt{1/8} \pi D$.

Entonces, para una velocidad de traslación dada$v_h$la energía necesaria es

Entonces, para mover el cuadrado con cierta velocidad horizontal promedio, necesitas más energía. Esta diferencia se calculó anteriormente considerando la energía, pero el mecanismo es una diferencia en la fuerza de fricción entre la rueda y la superficie (diferencias que deben coincidir con la diferencia de momento a lo largo de la dirección horizontal). Si se tira de la rueda cuadrada en el centro, y de esto surge una rotación más traslación, entonces esto debe coincidir con una fuerza de fricción en la parte inferior. Esta fricción será mayor para la rueda cuadrada que para la rueda redonda.

Generalización

^{Bajo construcción. El siguiente análisis ignora la gravedad. Este término podría agregarse fácilmente en la última expresión, pero hay que ver cómo influye esto en la conclusión.}

Consideremos cualquier objeto redondo (convexo) de densidad homogénea y describámoslo por el radio (distancia del borde desde el CM) en función del ángulo$r(\phi)$.

Tenemos las siguientes relaciones.

por la circunferencia

posición como función del ángulo$x(\varphi)$

distancia recorrida como función del ángulo

momento de inercia (suponiendo una distribución de densidad homogénea)

Usando lo anterior podemos expresar la velocidad$v = \frac{\text{d}s}{\text{d}t}$en términos de la velocidad angular$\omega = \frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t}$y también la velocidad horizontal$v_h = \frac{\text{d}x}{\text{d}t}$en términos de la velocidad angular

Entonces podemos expresar la energía cinética (descompuesta en movimiento rectilíneo y rotación) en términos de$v_h$.

Para la rueda redonda, el término entre paréntesis es igual$2$tal que$E_{kinetic} = m v_h^2$. Para otras formas la$\bar{r^3}/\bar{r}$el término será mayor, lo que hace que se requiera más energía para rodar a una velocidad horizontal particular$v_h$.