Átomo de hidrógeno, ¿cuál es la ecuación de onda para el núcleo del átomo?

Básicamente, es la ecuación de Schrödinger para una partícula libre, pero es importante tener en cuenta que esa partícula no es el protón, es el centro de masa de todo el átomo.

Esto se cubre con detalles razonables en libros de texto adecuadamente rigurosos sobre mecánica cuántica (aunque no puedo pensar en un ejemplo específico en este momento), y la idea básica es la siguiente:

• Se empieza con la ecuación de Schrödinger para las coordenadas electrónicas y nucleares, es decir, con el hamiltoniano $$H = \frac{1}{2M}\mathbf p_N^2 + \frac{1}{2m}\mathbf p_e^2 - \frac{Ze^2}{|\mathbf r_N-\mathbf r_e|}.$$
• Luego transforma su sistema a un nuevo conjunto de coordenadas: una para el movimiento relativo y otra para el centro de masa, $$\begin{align} \mathbf r &= \mathbf r_e-\mathbf r_N &&& \mathbf R &= \frac{1}{M+m}\left(M\mathbf r_N+m\mathbf r_e\right) \\ \mathbf p &= \frac{M}{M+m}\mathbf p_e-\frac{m}{M+m}\mathbf p_N &&& \mathbf P &= \mathbf p_N+\mathbf p_e. \end{align}$$
• Verifica que las nuevas coordenadas satisfacen las relaciones de conmutación (canónicas) correctas, es decir, que$[x_j,p_k] = [X_j,P_k] = i\hbar \delta_{jk}$y$[x_j,P_k]=0 = [X_j,p_k]$.
• Expresas las coordenadas nucleares y electrónicas como funciones de las coordenadas transformadas, las pones en tu hamiltoniano y trabajas en la transformación para obtener $$H = \frac{1}{2(M+m)}\mathbf P^2 + \frac{1}{2\mu}\mathbf p^2 - \frac{Ze^2}{|\mathbf r|},$$ donde$\mu = \left(\frac1m+\frac1M\right)^{-1}$es la masa reducida (en sí misma muy cercana a$m$en el límite donde$m\ll M$).

Esta descomposición separa completamente su problema dinámico (inicialmente acoplado) en dos subproblemas separados y bastante distintos, el hamiltoniano electrónico habitual,

$$H_\mathrm{el} = \frac{1}{2\mu}\mathbf p^2 - \frac{Ze^2}{|\mathbf r|},$$ y un hamiltoniano de centro de masa dado simplemente por el término cinético de partículas libres, $$H_\mathrm{COM} = \frac{1}{2(M+m)}\mathbf P^2.$$ Eso se puede usar para obtener la ecuación de onda explícita para el movimiento "nuclear" (en realidad, el centro de masa). En el caso más simple, esta es de hecho solo la partícula libre, pero es fácil ver cómo se puede modificar para, digamos,

• incluir un potencial explícito que aborde específicamente el movimiento nuclear,
• agregue el potencial para una trampa de dipolo , que funciona agregando un$\mathbf R$-potencial externo dependiente que acopla la resonancia al movimiento electrónico, que luego 'congela' ese grado de libertad a un$\mathbf R$-estado fundamental dependiente con un$\mathbf R$dependiente de la energía del estado fundamental que actúa como una trampa para el centro de masa, o también
• dar cuenta del impulso de un fotón que es absorbido por los grados de libertad electrónicos ,

entre muchas posibles aplicaciones.

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Ah, y también: nada en mi procedimiento inicial es específico de la mecánica cuántica, y esa separación de variables también está presente en una forma esencialmente idéntica (es decir, solo necesita cambiar los conmutadores canónicos por una preservación idéntica de los corchetes de Poisson) dentro de la clásica mecánica hamiltoniana.

Por conservación del momento, el centro de masa del átomo es lo que en realidad permanece fijo. Esto implica que existe una correlación perfecta entre las funciones de onda$\Psi$del electrón y$\Phi$del protón:

$$\Phi(x)=\Psi(-(M/m)x),$$

donde$M$es la masa del protón y$m$es la masa del electrón.

El efecto sobre los niveles de energía es reemplazar la masa del electrón con la masa reducida.

Escribo esto para complementar la respuesta correcta de @BenCrowell y, en mi opinión, la respuesta incompleta de @EmilioPisanty. En mi opinión, y parece ser también la de Ben Crowell, la cuestión del OP apuntaba claramente a la descripción de la función de onda QM del protón en el modelo de hidrógeno.

El enfoque habitual para incluir el efecto del protón en el problema del hidrógeno es desacoplar el hamiltoniano en el hamiltoniano para el movimiento de traslación del centro de masa y el hamiltoniano para el movimiento relativo del electrón y el protón, que tienen la distancia$\vec r=\vec r_\text{e} - \vec r_\text{p}$, que es una coordenada generalizada. (Vea la respuesta de Emilio Pisanty). Este hamiltoniano que describe el movimiento relativo es para una sola partícula ficticia con carga de electrones con la masa reducida$\mu=\left(1/m_\text{e}+1/m_\text{p}\right)^{-1}$en el potencial de Coulomb central$\frac {e}{4\pi \epsilon_0 |\vec r|}$con una distancia$\vec r$desde el origen En el marco del centro de masa, este es el único hamiltoniano necesario para describir el átomo de hidrógeno. Para esto, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo dice:

$$H\psi\left(\vec r\right)=\left(\frac {\vec p^2}{2\mu} - \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 |\vec r|}\right)\psi\left(\vec r\right)=E\psi\left(\vec r\right) \tag1$$ Al resolver esta ecuación de Schrödinger, obtienes todos los valores propios de energía del átomo de hidrógeno, incluido el efecto de movimiento del protón. Sin embargo, hay que tener en cuenta que las soluciones de onda $\psi\left(\vec r\right)$(funciones propias) obtenidas son para esta partícula ficticia de masa reducida $\mu$describiendo el sistema combinado protón-electrón, no para el electrón ni para el protón mismo.

Por lo tanto, surge la cuestión de si el electrón y el protón pueden describirse por separado con funciones de onda que proporcionen, por ejemplo, su distribución de probabilidad espacial, y de qué manera. Ben Crowell ya ha dado una respuesta corta correcta para esto sin derivación. Intento mostrar cómo se puede obtener esto a partir de las funciones de onda.$\psi\left(\vec r\right)$del sistema ficticio de partículas.

En el marco de referencia del centro de masa, el vector de posición del centro de masa es cero y produce

$$m_\text{e}\vec r_\text{e}+m_\text{p}\vec r_\text{p}=0 \tag 2$$ y $$\vec r_\text{e}=-\frac {m_\text{p}}{m_\text{e}}\vec r_\text{p} \tag 3$$ El vector de distancia $\vec r$se puede expresar mediante el vector de posición del electrón o del protón $$\vec r=\vec r_\text{e} -\vec r_\text{p}=\vec r_\text{e}\left(\frac {m_\text{e}+m_\text{p}}{m_\text{p}}\right)=-\vec r_\text{p}\left(\frac {m_\text{e}+m_\text{p}}{m_\text{e}}\right) \tag 4$$ Por tanto, la solución ondulatoria de la ec. (1) rendimientos $$\psi \left(\vec r\right)=\psi\left(\vec r_\text{e}\frac {m_\text{e}+m_\text{p}}{m_\text{p}}\right)=\psi\left(-\vec r_\text{p}\left(\frac {m_\text{e}+m_\text{p}}{m_\text{e}}\right)\right)$$ Por lo tanto, las funciones de onda para el electrón y para el protón, $\psi_\text{e}\left(\vec r_\text{e}\right)$y $\psi_\text{p}\left(\vec r_\text{p}\right)$, se obtienen a partir de la función de onda $\psi\left(\vec r\right)$por escalas de coordenadas simples. Y la función de onda del protón está relacionada con la del electrón por la escala de coordenadas [eq. 2] $$\psi_\text{p}\left(\vec r_\text{p}\right) =\psi_\text{e}\left(-\vec r_\text{e} \frac {m_\text{e}}{m_\text{p}}\right) \tag 5$$

Esto muestra que las funciones de onda del electrón y el protón se pueden derivar de la función de onda del sistema de masa reducida y que están perfectamente correlacionadas y centradas alrededor del centro de masa, como lo ha demostrado Ben Crowell en su respuesta. La función de onda del protón es simplemente una versión escalada de la función de onda del electrón. Esto significa, por ejemplo, que en el estado fundamental del átomo, la máxima densidad de probabilidad de posición del protón se encuentra en una capa esférica alrededor del centro de gravedad con radio

$$r_\text{p}=\frac {m_\text{e}}{m_\text{p}} r_\text{e} \approx \frac {m_\text{e}}{m_\text{p}}r_{\text{Bohr}}\ \tag 6$$ que es mucho más pequeño que el radio de Bohr.

Le agradecería que me corrigiera o me diera una explicación en caso de que encuentre algo mal en esta derivación suplementaria.