Soluciones físicamente inaceptables para la ecuación angular QM

Question

Soluciones físicamente inaceptables para la ecuación angular QM

Física
función de onda
espacio de hilbert
singularidades
mecánica cuántica
armónicos esféricos

Areté

Estoy leyendo el libro de texto de la tercera edición de Introducción a la mecánica cuántica de Griffiths [1]. En la p.136, el autor explica:

¡Pero espera! Ecuación 4.25 (ecuación angular para el $\theta$ -parte) es una ecuación diferencial de segundo orden: debe tener dos soluciones linealmente independientes, para cualquier valor antiguo de $\ell$ y $m$ . ¿Dónde están todas las otras soluciones? (Una está relacionada con la función de Legendre asociada). Respuesta : Existen , por supuesto, como soluciones matemáticas a la ecuación, pero son físicamente inaceptables porque explotan en $\theta=0$ y/o $\theta=\pi$ (ver Problema 4.5).

En el problema 4.5, puedo encontrar que la función $A\ln[\tan (\theta/2)]$ satisface el $\theta$ ecuación para $\ell=m=0$ . Y tal función explota en $\theta=0$ y $\theta=\pi$ .

Pero, ¿por qué tal función es físicamente inaceptable ? Para que la función de onda sea físicamente aceptable, fundamentalmente debe ser integrable al cuadrado. Y $\ln[\tan (\theta/2)]$ en realidad!

\int_{0}^{π} [en [broncearse (θ / 2)]]^{2} pecado θ d θ = \frac{π^{2}}{6}

$\int_{0}^\pi [\ln[\tan (\theta/2)]]^2\sin\theta \text d\theta= \frac{\pi^2}6$

Para el caso de la función de buen comportamiento, tiene sentido establecer la condición de la función como 'finita' y 'cuadrada integrable' de manera equivalente. En este caso, aunque $\ln[\tan (\theta/2)]$ explota en $\theta=0$ y $\theta=\pi$ , todavía es integrable en cuadrado domesticado por $\sin \theta$ término. Por lo tanto, se puede normalizar para satisfacer la interpretación estadística de Born. Pero el autor dice que tal función es físicamente inaceptable, así que me pregunto por qué.

Referencia

Griffiths, DJ; Schroeter, DF Introducción a la Mecánica Cuántica 3ª ed; Prensa de la Universidad de Cambridge, 2018 . ISBN 978-1107189638.

Zumbido

La condición para una función de onda mecánica cuántica es la integrabilidad cuadrada. Esa no es la condición en E&M.

exp ikx

¿No debería la función de onda ser continua también para que sea físicamente aceptable?

Respuestas (2)

Soluciones físicamente inaceptables para la ecuación angular QM

La condición para una función de onda mecánica cuántica es la integrabilidad cuadrada. Esa no es la condición en E&M.
¿No debería la función de onda ser continua también para que sea físicamente aceptable?

qmecanico · Answer 1

En principio, estamos tratando de resolver el problema TISE angular $^1$

{\vec{L}}^{2} Y = ℏ^{2} ℓ (ℓ + 1) Y, L_{z} Y = ℏ metro Y,

$\vec{\bf L}^2Y~=~\hbar^2\ell(\ell+1)Y, \qquad {\bf L}_zY~=~\hbar m Y,$ en la unidad 2-esfera

S^{2}

$\mathbb{S}^2$ . Sin embargo, estamos usando un sistema de coordenadas "tropical"

(θ, ϕ)

$(\theta,\phi)$ que es singular en los polos norte y sur

θ = 0, π

$\theta=0,\pi$ . Por lo tanto, estrictamente hablando también deberíamos resolver el TISE en vecindades de coordenadas "ártico/antártico" matemáticamente bien definidas de los polos norte y sur, respectivamente, y ver si podemos unir las soluciones locales en una solución global en

S^{2}

$\mathbb{S}^2$ . No es sorprendente

^{2}

$^2$ , las soluciones de coordenadas "ártico/antártico" no tienen singularidades en los polos. Entonces el pegado no es posible si el tropical

(θ, ϕ)

$(\theta,\phi)$ solución de coordenadas muestra singularidades en

θ = 0, π

$\theta=0,\pi$ , es decir, tales singularidades son físicamente inaceptables.

--

$^1$ Aquí nos ceñimos a la formulación geométrica diferencial utilizando funciones de onda. Por supuesto, también existe una formulación algebraica bien conocida que utiliza operadores de escalera, que no abordaremos aquí.

Podemos suponer wlog que $\ell\geq 0$ . El valor único de la función de onda. $Y$ implica que la constante $m\in\mathbb{Z}$ es un número entero. Su gama $|m|$ está delimitado por $\ell$ por razones físicas. En particular, se sigue que para fijos $\ell$ , el número de soluciones tropicales independientes es finito.

$^2$ Después de todo el $Y$ las soluciones deben mantener $SO(3)$ covarianza Recuerde que las soluciones tropicales $Y$ no tienen singularidades o discontinuidades en los puntos internos. De hecho son mapas lisos en el interior. Esto puede derivarse, por ejemplo, mediante un argumento de arranque como lo que se hace en mi respuesta Phys.SE aquí . Una formulación que usa soluciones débiles no cambia la conclusión principal.

Una solución ártica/antártica debería ser una combinación lineal de los finitos muchos $90^{\circ}$ -soluciones tropicales rotadas para el problema correspondiente con ${\bf L}_z$ reemplazado por, digamos, ${\bf L}_x$ . Una suma finita no puede desarrollar singularidades internas. $\Box$

1. ¿Es el término "coordenadas árticas/antárticas" un término técnico bien definido que se refiere a un sistema de coordenadas único? ¿O simplemente se refiere a cualquier sistema de coordenadas cuyo dominio incluya una vecindad del polo norte/sur?
En cualquier caso, encuentro esta respuesta menos clara de lo que me gustaría que fuera este argumento. 2. Por 'singularidad', ¿significa esto una discontinuidad, o incluye cualquier lugar donde la solución vaya al infinito? Si es lo último, ¿por qué exactamente se descartan las singularidades integrables en cuadrado (incluso en un sistema de coordenadas suave)?
Hola @Emilio Pisanty: Gracias por los comentarios. 1. Este último. 2. Actualicé la respuesta.
Déjame resumir. en realidad estamos soving $L^2 \psi =0$ . Dónde $L^2$ es autoadjunto de modo que $\psi$ debe pertenecer a su dominio de autoadjunción. $L^2$ es el operador de Laplace en $S^2$ y el dominio de la autoadjunción es el segundo espacio de Sobolev. Debido a la regularidad elíptica, cada solución debe ser clásica y suave. La suavidad se refiere al atlas liso en $S^2$ . Si pasa de las coordenadas esféricas a las coordenadas uniformes locales alrededor de cada polo, verá que nuestra solución candidata no es uniforme. Por lo tanto, no puede pertenecer al dominio de autoadjunción de $L^2$ .
Creo que es correcto, pero todo eso no se puede entender simplemente declarando que la solución candidata es "físicamente inaceptable". Si $L^2$ fueran reemplazados por un operador no elíptico, todo el razonamiento sería falso. Creo que el comentario del libro es muy engañoso...
Encuentro este tipo de declaraciones (me refiero al libro) bastante peligrosas y la pregunta de OP muy saludable: tiene toda la razón al plantear este problema. Creo que estas afirmaciones producen una deriva hacia sentimientos completamente erróneos. Cuando era estudiante dedicaba horas a analizar y probar ideas similares erróneas . Algunos autores no saben por qué alguna afirmación es cierta y sería mucho más seguro para toda la comunidad evitar sugerir conceptos erróneos. Aquí el punto es la "regularidad elíptica" (gracias Qmechanic). ¿Está esto tan directamente relacionado con la física?
Hola @Valter Moretti: Gracias por los comentarios. Actualicé la respuesta.
Notas para más tarde: $\int_{0}^{π} pecado θ d θ {en}^{2} broncearse \frac{θ}{2} = \int_{R_{+}} \frac{4 t d t}{(1 + t^{2})^{2}} {en}^{2} t = \int_{R_{+}} \frac{d s}{2 (1 + s)^{2}} {en}^{2} s = \int_{R} \frac{z^{2} d z}{8 {aporrear}^{2} \frac{z}{2}} = \frac{π^{2}}{6} .$ $\int_0^{\pi}\! \sin\theta \mathrm{d}\theta \ln^2\tan\frac{\theta}{2}~=~\int_{\mathbb{R}_+}\! \frac{4t\mathrm{d}t}{(1+t^2)^2} \ln^2t~=~\int_{\mathbb{R}_+}\! \frac{\mathrm{d}s}{2(1+s)^2} \ln^2s~=~\int_{\mathbb{R}}\! \frac{z^2\mathrm{d}z}{8\cosh^2\frac{z}{2}}~=~\frac{\pi^2}{6}.$ Efectivamente finito.

NDewolf · Answer 2

Como se mencionó en las respuestas a ¿Cómo saber si una función de onda es una solución físicamente aceptable de una ecuación de Schrödinger? también se debe requerir la integrabilidad cuadrada de los derivados de orden superior. En tu caso esto ya falla para la primera derivada.

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Valter Moretti

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