Una confusión sobre el giro de una partícula descrita por la ecuación de Dirac

Es cierto que el hamiltoniano de Dirac no conmuta con el vector de espín$\vec{S}$. mientras tenemos$\left[\vec{J},H_{D}\right]=0$, el conmutador relacionado con$\vec{S}$es distinto de cero. Así que los componentes del vector, por ejemplo$S_{x}=\frac{\hbar}{2}\Sigma_{1}$en términos de$4\times4$matriz de Dirac$\Sigma_{1}$— no representan cantidades conservadas.* Sin embargo, la magnitud del espín conmuta con el hamiltoniano,

$$\left[\vec{S}\,^{2},H_{D}\right]=0.$$ Entonces la magnitud del giro es siempre$\frac{3}{4}\hbar^{2}$, y el giro siempre se describe mediante un$s=\frac{1}{2}$representación del (cobertura universal del) grupo de rotación,$SU(2)$.

Tenga en cuenta que una fórmula de conmutador análoga con$\vec{L}$no se sostiene:

$$\left[\vec{L}\,^{2},H_{D}\right]\neq0.$$ Esto lleva al hecho de que los componentes pequeño y grande de un espinor de Dirac que describe un valor propio de energía en un potencial central tienen diferentes valores propios de$l$, aunque tienen el mismo valor de$s$y$j$.

*$H_{D}$conmuta con la helicidad$\vec{S}\cdot\hat{p}$, pero ese es un operador no local, ya que involucra un vector unitario$\hat{p}=\vec{p}/|\vec{p}|$, dónde$\vec{p}=-i\hbar\vec{\nabla}$. (Esto no es local debido a la$1/|\vec{p}|$; funciones de derivadas que no sean potencias enteras no negativas no se pueden definir localmente).

Lo importante que determina qué espín decimos que tiene una partícula es en qué representación se transforma un solo estado de partícula. En particular, asumimos que el estado es una "onda plana" con un momento definido. Esto se transformará en la representación spin-1/2 de SO(3) en el marco de reposo de la partícula.

Su observación es correcta, sin embargo, que la partícula puede transformarse en otras representaciones de SO(3) si su función de onda no es una onda plana. Por ejemplo, un electrón que está unido a un núcleo puede tener una función de onda que es un armónico esférico, y todo el estado en sí mismo se transformará como una representación que no es 1/2.