¿Por qué se conserva pϕpϕp_\phi en una órbita de Schwarzschild?

Pero, ¿por qué es la componente del vector dual$p_\phi$que es constante en lugar de$p^\phi$?

Desde la parte inferior de la página 189:

La ecuación geodésica puede, por lo tanto, en completa generalidad, escribirse

$$m \frac{dp_\beta}{d\tau} = \frac{1}{2}g_{\nu \alpha,\beta}\;p^\nu p^\alpha$$

Por lo tanto, tenemos el siguiente resultado importante: si todos los componentes$g_{\mu \nu}$son independientes de$x^\beta$para algún índice fijo$\beta$, entonces$p_\beta$es una constante a lo largo de la trayectoria de cualquier partícula

Además, tenga en cuenta que, en la sección relevante sobre órbitas ecuatoriales en la geometría de Schwarzschild, Schutz está trabajando en una base de coordenadas y no en una base de unidades .

en el caso de que$\theta = \frac{\pi}{2}$(como en este ejemplo), tenemos

$$\vec e_\phi \cdot \vec e_\phi = r^2$$

por eso, creo,$p^\phi$es$r$dependiente.

Dejar$\xi^\alpha$ser un vector asesino de una métrica$g_{\mu\nu}$, es decir, satisface

$$\nabla_\mu \xi_\nu + \nabla_\nu \xi_\mu = g_{\mu\alpha} \partial_\nu \xi^\alpha + g_{\nu\alpha} \partial_\mu \xi^\alpha + \xi^\alpha \partial_\alpha g_{\mu\nu}$$ Entonces la cantidad $$Q = \xi^\alpha u_\alpha$$ se conserva a lo largo de cualquier geodésica. Para ver esto, podemos calcular $$u^\alpha \nabla_\alpha Q = u^\alpha u^\beta \nabla_\alpha \xi_\beta + u^\alpha \nabla_\alpha u_\beta \xi^\beta$$ El primer término anterior es cero porque puedo simetrizar $\nabla_\alpha \xi_\beta \to \frac{1}{2} \left( \nabla_\alpha \xi_\beta + \nabla_\beta \xi_\alpha \right)$que entonces es cero ya que $\xi$es un vector de matanza. El segundo término es cero debido a la ecuación geodésica. De este modo $$u^\alpha \nabla_\alpha Q = 0$$ Finalmente, observamos que si la métrica $g_{\mu\nu}$es independiente de una coordenada particular $\phi$, entonces $K^\alpha = \delta^\alpha_\phi$es un vector de matanza. Podemos ver esto simplemente insertando esto en la ecuación de Killing y encontramos $$g_{\mu\alpha} \partial_\nu K^\alpha + g_{\nu\alpha} \partial_\mu K^\alpha + K^\alpha \partial_\alpha g_{\mu\nu} = \partial_\phi g_{\mu\nu} = 0$$ Los dos primeros términos desaparecen ya que $K$es una constante El último término desaparece por suposición.

Por lo tanto, si la métrica es independiente de$\phi$, entonces$K^\alpha = \delta^\alpha_\phi$es un vector asesino y

$$Q = K^\alpha u_\alpha = u_\phi \propto p_\phi$$ es una cantidad conservada.