Caída libre desde el reposo en un agujero negro de Kerr

de este papel$^1$tenemos las ecuaciones para una partícula de energía total cero en una trayectoria descendente en el plano ecuatorial:

$$\begin{align} \Sigma\frac{d\theta}{d\tau} &= 0 \\ \Sigma\frac{dr}{d\tau} &= -\sqrt{2Mr(r^2 + a^2)} \\ \Sigma\frac{dt}{d\tau} &= -a^2\sin^2\theta + \frac{(r^2 + a^2)^2}{r^2-2Mr+a^2} \\ \Sigma\frac{d\phi}{d\tau} &= -a \left( 1 - \frac{r^2 + a^2}{r^2-2Mr+a^2} \right) \\ \Sigma &= r^2 + a^2\cos^2\theta \\ a &= \frac{J}{M} \end{align}$$

Si está feliz de suponer que el tiempo propio sigue siendo finito, entonces para averiguar si el tiempo coordinado se vuelve infinito en cualquier lugar, simplemente preguntamos si$dt/d\tau$se vuelve infinito en cualquier lugar. Si usamos la simplificación de que la trayectoria es ecuatorial ($\theta = \pi/2$) entonces$dt/d\tau$se simplifica a:

$$r^2\frac{dt}{d\tau} = -a^2 + \frac{(r^2 + a^2)^2}{r^2-2Mr+a^2}$$

y esto se vuelve infinito cuando:

$$r^2-2Mr+a^2 = 0$$

que tiene las dos soluciones:

$$r = M \pm \sqrt{M^2 - a^2}$$

o en una forma más familiar:

$$r = \frac{r_s \pm \sqrt{r_s^2 - 4a^2}}{2}$$

Pero la ergosfera está en$r = r_s$en el plano ecuatorial, entonces$dt/d\tau$no es infinito en la ergosfera y esto implica que la partícula que cae llegará a la ergosfera en un tiempo de coordenadas finito.

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$^1$este documento no tiene nada de especial, fue solo el primer documento que encontré al hacer una búsqueda en Google.